A 13.4. Definíció alapján azt kell tehát bizonyítani, hogy a \sim szimbólummal jelölt reláció reflexív (12.8. Definíció), tranzitív (12.10. Definíció) és szimmetrikus (13.3. Definíció). Az alábbiakban legyenek a, b és c a G csoport tetszőleges elemei, az egységelemet pedig jelöljük e-vel. A bizonyítás során végig arra fogunk támaszkodni, hogy H részcsoport G-ben.

Mivel nyilván a^{-1}a=e teljesül, és a G csoport egységeleme a 24.5. Tétel 2. pontja alapján benne van a H részcsoportban, ezért fennáll az a\sim a reláció, így az reflexív.

Ha a^{-1}b és b^{-1}c benne vannak H-ban, akkor a 24.5. Tétel 1. pontja alapján az ő szorzatuk is benne van H-ban. Az ő szorzatuk viszont épp az a^{-1}c elem, hiszen:

a^{-1}\cdot \underbrace{b\cdot b^{-1}}_{=e}\cdot c=a^{-1}ec=a^{-1}c

Így tehát az a\sim b és b\sim c relációkból következik az a\sim c reláció, azaz teljesül a tranzitivitás is.

Végül ha a^{-1}b benne van H-ban, akkor a 24.5. Tétel 3. pontja alapján az ő inverze, is benne van H-ban. Az ő inverze viszont a 24.2. Tétel szerint épp b^{-1}a, hiszen:

(a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}(a^{-1})^{-1}=b^{-1}a

Vagyis a\sim b-ből következik b\sim a, ami épp a szimmetriát jelenti.

A \sim reláció tehát valóban egy ekvivalenciareláció, amely a G csoport alaphalmazát ekvivalencia-osztályokra bontja. Ezek lesznek a H szerinti baloldali mellékosztályok. A g elemet tartalmazó mellékosztály pontosan azokból az x elemekből fog állni, amelyekre teljesül a g\sim x reláció. A tétel szövege alapján ez pontosan azt jelenti, hogy a g^{-1}x szorzat benne van H-ban. Ez viszont a 18.19. Definícióban bevezetett komplexusműveletek nyelvén pontosan azt jelenti, hogy x benne van a gH halmazban.

A tétel jobboldali mellékosztályokra vonatkozó állítása pontosan ugyanezzel a gondolatmenettel igazolható, csak ott a szorzásokat fordított sorrendben kell felírni.