A 23.3. Definíció utáni megjegyzés alapján nem Fermat-tanú csak redukált maradékosztály lehet, ezért fennáll az F_n\sube (\Z/n\Z)^{\times} tartalmazási reláció. Így az F_n\leq (\Z/n\Z)^{\times} részcsoport reláció igazolásához a 24.13. Következmény alapján csak azt kell megmutatni, hogy F_n nemüres és zárt a (\Z/n\Z)^{\times}-beli csoportműveletre nézve. Az első feltétel nyilván teljesül, hiszen 1^{n-1}\equiv 1\pmod n, és így az [1]_n maradékosztály a 23.3. Definíció értelmében nem Fermat-tanú, azaz benne van F_n-ben.

Legyen most [a]_n és [b]_n az F_n halmaz két tetszőleges eleme. Mivel ők nem Fermat-tanúk, ezért a 23.3. Definíció alapján teljesül az alábbi két kongruencia:

\begin{aligned}a^{n-1}&\equiv 1\pmod n \\ b^{n-1}&\equiv 1\pmod n\end{aligned}

A két kongruenciát a 20.2. Tétel 5. pontja miatt összeszorozhatjuk. Alkalmazva a hatványozás azonosságairól szóló 18.8. Tétel 1. pontját, az alábbi kongruenciát kapjuk:

(ab)^{n-1}\equiv 1\pmod n

Így a 23.3. Definíció alapján az [ab]_n maradékosztály szintén nem Fermat-tanú, azaz benne van F_n-ben. Mivel a 20.5. Tétel alapján az [ab]_n maradékosztály épp az [a]_n és [b]_n maradékosztályok szorzata, ezért F_n valóban zárt a (\Z/n\Z)^{\times} csoport műveletére nézve, azaz részcsoport (\Z/n\Z)^{\times}-ben.

Ha most n nem Carmichael-szám, akkor a 23.7. Definíció alapján létezik n-hez tartozó Fermat-tanú a redukált maradékosztályok között, vagyis a (\Z/n\Z)^{\times} csoportban, amely viszont így nincs benne F_n-ben. Ilyenkor tehát F_n valódi részcsoport. Ezzel szemben ha n Carmichael-szám, akkor egyik redukált maradékosztály sem Fermat-tanú, azaz ilyenkor F_n=(\Z/n\Z)^{\times}.

Azt kell még igazolni, hogy H_n valódi részcsoport F_n-ben. Azt a 24.19. Tétel 2. pontja alapján már tudjuk, hogy H_n részcsoport (\Z/n\Z)^{\times}-ben, ami a 24.13. Következmény értelmében azt jelenti, hogy H_n zárt a (\Z/n\Z)^{\times} csoport műveletére nézve. Így már csak azt kell megmutatni, hogy fennáll a H_n\sub F_n szigorú tartalmazási reláció.

Ehhez először azt igazoljuk, hogy H_n\sube F_n. Legyen ezért [a]_n a H_n halmaz tetszőleges eleme, és mutassuk meg, hogy [a]_n\in F_n. Mivel [a]_n\in H_n, ezért a tétel szövege alapján:

a^{2^{j_{\text{max}}}k} \equiv \pm 1\pmod n

Akár 1, akár -1 szerepel a jobboldalon, a kongruenciát négyzetre emelve a következőt kapjuk:

a^{2^{j_{\text{max}}+1}k} \equiv 1\pmod n

Mivel a tétel szövegéből tudjuk, hogy j_{\text{max}}\leq e-1, ezért az egyenlőtlenség mindkét oldalához 1-et adva j_{\text{max}}+1\leq e adódik. Így ha a fenti kongruencia mindkét oldalát valahányszor négyzetre emeljük (sőt j_{\text{max}}+1=e esetén még csak nem is kell négyzetre emelnünk egyszer sem), akkor előbb-utóbb eljutunk az itt látható utolsó kongruenciáig:

\begin{aligned}a^{2^{j_{\text{max}}+1}}k &\equiv 1\pmod n \\ a^{2^{j_{\text{max}}+2}}k &\equiv 1\pmod n \\ a^{2^{j_{\text{max}}+3}}k &\equiv 1\pmod n \\ &\vdots \\ a^{2^ek} &\equiv 1\pmod n\end{aligned}

Minthogy a tétel szövegéből tudjuk, hogy n-1=2^ek, ezért ez az utolsó kongruencia a 23.3. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy [a]_n nem Fermat-tanú, azaz benne van F_n-ben, és így H_n\sube F_n.

Végezetül megmutatjuk, hogy ez valójában egy szigorú tartalmazási reláció, azaz mutatni fogunk egy olyan redukált maradékosztályt, amely benne van F_n-ben, de nincs benne H_n-ben. A munka felét már elvégeztük a 24.19. Tétel 4. állításának bizonyításában, ott ugyanis már mutattunk egy olyan [a]_n redukált maradékosztályt, amely nincs benne H_n-ben. Most igazoljuk, hogy ez a bizonyos [a]_n viszont benne van F_n-ben, azaz a következő a helyzet:

Ismételjük át az említett bizonyítás gondolatmenetét. Felhasználtuk, hogy n-nek legalább két prímtényezője van, hiszen nem prímhatvány. Azaz felírható n=p^cm alakban, ahol p az egyik prímtényező, c\geq 1 valamilyen pozitív kitevő, m\gt 1 valamilyen páratlan egész szám, továbbá p^c és m relatív prímek. Ekkor ugye érvényes a kínai maradéktétel (22.2. Tétel), amelynek következményeként a 22.8. Tétel alapján fennáll az alábbi gyűrűizomorfizmus:

\Z/n\Z \simeq \Z/p^c\Z \times \Z/m\Z

A tétel szövegéből ugye azt is tudjuk, hogy a j_{\text{max}} kitevőhöz létezik olyan s egész szám, amelyre teljesül az alábbi kongruencia:

s^{2^{j_{\text{max}}}}\equiv -1\pmod n

Továbbá az említett bizonyításban azt is megmutattuk, hogy ekkor az s^{2^{j_{\text{max}}}} hatvány -1-gyel kongruens modulo p^c is, azaz:

s^{2^{j_{\text{max}}}}\equiv -1\pmod{p^c}

Ezt az s egész számot használtuk fel az említett [a]_n redukált maradékosztály megkonstruálásához. Azt mondtuk, hogy [a]_n legyen az a maradékosztály a \Z/n\Z gyűrűben, amelyhez a 22.8. Tételben szereplő g gyűrűizomorfizmus épp az ([s]_{p^c};[1]_m) maradékosztálypárt rendeli hozzá a \Z/p^c\Z \times \Z/m\Z szorzatgyűrűből, azaz:

[a]_n \xmapsto{g} ([s]_{p^c};[1]_m)

Ha most a bal- és a jobboldalon álló kifejezést is 2^{j_{\text{max}}}k-adik hatványra emeljük, akkor g művelettartó tulajdonsága miatt érvényes lesz az alábbi hozzárendelés is:

[a^{2^{j_{\text{max}}}k}]_n \xmapsto{g} ([s^{2^{j_{\text{max}}}k}]_{p^c};[1^{2^{j_{\text{max}}}k}]_m)

Mivel k páratlan, és az s^{2^{j_{\text{max}}}} hatvány -1-gyel kongruens modulo p^c, ezért ez teljesülni fog az s^{2^{j_{\text{max}}}k} hatványra is. Így tehát a fenti hozzárendelés az alábbira egyszerűsödik:

[a^{2^{j_{\text{max}}}k}]_n \xmapsto{g} ([-1]_{p^c};[1]_m)

Ha most a bal- és jobboldalon álló kifejezéseket elkezdjük sorozatosan négyzetre emelni, akkor g művelettartó tulajdonsága miatt érvényesek lesznek az alábbi hozzárendelések is:

\begin{aligned}[a^{2^{j_{\text{max}}}k}]_n &\xmapsto{g} ([-1]_{p^c};[1]_m) \\ [a^{2^{j_{\text{max}}+1}k}]_n &\xmapsto{g} ([1]_{p^c};[1]_m) \\ [a^{2^{j_{\text{max}}+2}k}]_n &\xmapsto{g} ([1]_{p^c};[1]_m) \\ [a^{2^{j_{\text{max}}+3}k}]_n &\xmapsto{g} ([1]_{p^c};[1]_m) \\ &\vdots\end{aligned}

A tétel szövegéből tudjuk, hogy j_{\text{max}}\lt e, ezért a sorozatos négyzetre emeléseket folytatva előbb-utóbb eljutunk az itt látható utolsó hozzárendelésig:

[a^{\overbrace{2^ek}^{=n-1}}]_n \xmapsto{g} ([1]_{p^c};[1]_m)

Mivel a 22.8. Tétel alapján a g gyűrűizomorfizmus a jobboldalon látható ([1]_{p^c};[1]_m) maradékosztálypárt épp az [1]_n maradékosztályhoz rendeli hozzá, ezért a baloldalon álló [a^{n-1}]_n maradékosztály szükségképpen megegyezik az [1]_n maradékosztállyal, azaz teljesül az alábbi kongruencia:

a^{n-1}\equiv 1\pmod n

Így az [a]_n maradékosztály a 23.3. Definíció értelmében nem Fermat-tanú, azaz benne van F_n-ben, tehát valóban fennáll a H_n\sub F_n szigorú tartalmazási reláció.