Az 1. állítás bizonyításához először azt igazoljuk, hogy D_n részcsoport (\Z/n\Z)^{\times}-ben. A 24.13. Következmény alapján ez az alábbi 3 feltétel ellenőrzését jelenti:

1. D_n nemüres
2. Fennáll a D_n\sube (\Z/n\Z)^{\times} tartalmazási reláció
3. D_n zárt a (\Z/n\Z)^{\times} csoport műveletére nézve.

Az első feltétel nyilván teljesül, hiszen teljesülnek az alábbi kongruenciák:

\begin{aligned}1^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv 1\pmod{p_1^{c_1}} \\ 1^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv 1\pmod{p_2^{c_2}} \\ &\vdots \\ 1^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv 1\pmod{p_r^{c_r}}\end{aligned}

Így tehát az [1]_n maradékosztály biztosan benne van D_n-ben.

A második feltételhez tekintsünk egy tetszőleges [a]_n\in D_n maradékosztályt, és igazoljuk, hogy ő egy redukált maradékosztály, azaz [a]_n\in (\Z/n\Z)^{\times}. Mivel [a]_n\in D_n, ezért a tétel szövege alapján tetszőleges p_i prímtényezőre teljesül az alábbi kongruencia:

a^{2^{j_{\text{max}}}k}\equiv \pm 1\pmod{p_i^{c_i}}

Akár 1, akár -1 szerepel a jobboldalon, a kongruenciát négyzetre emelve az alábbit kapjuk:

a^{2^{j_{\text{max}}+1}k}\equiv 1\pmod{p_i^{c_i}}

Találtunk tehát egy olyan pozitív kitevőt – nevezetesen 2^{j_{\text{max}}+1}k-t –, amelyre emelve a-t az eredmény kongruens lesz 1-gyel modulo p_i^{c_i}. Ebből viszont a 20.20. Tétel alapján következik, hogy a relatív prím p_i^{c_i}-hez, azaz prímtényezős felbontása nem tartalmazza a p_i prímtényezőt. Minthogy ez n összes prímtényezőjével végigjátszható, így azt kapjuk, hogy a prímtényezős felbontás nem tartalmazza n egyetlen prímtenyőjét sem, tehát relatív prím magához n-hez. Ez viszont a 20.14. Tétel értelmében azt jelenti, hogy [a]_n redukált maradékosztály, vagyis valóban benne van (\Z/n\Z)^{\times}-ben.

Végül a harmadik feltételhez tekintsünk két tetszőleges [a]_n és [b]_n maradékosztályt a D_n halmazban. A D_n definíciója alapján ekkor teljesülnek az alábbi kongruenciák:

\begin{array}{cc} \begin{aligned}a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv \pm 1\pmod{p_1^{c_1}} \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv \pm 1\pmod{p_2^{c_2}} \\ &\vdots \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv \pm 1\pmod{p_r^{c_r}}\end{aligned} & \begin{aligned}b^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv \pm 1\pmod{p_1^{c_1}} \\ b^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv \pm 1\pmod{p_2^{c_2}} \\ &\vdots \\ b^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv \pm 1\pmod{p_r^{c_r}}\end{aligned} \end{array}

Ha az egymás mellett álló kongruenciákat összeszorozzuk, és alkalmazzuk a hatványozás azonosságairól szóló 18.8. Tétel 1. pontját, akkor az alábbi kongruenciákat kapjuk:

\begin{aligned}(ab)^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv \pm 1\pmod{p_1^{c_1}} \\ (ab)^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv \pm 1\pmod{p_2^{c_2}} \\ &\vdots \\ (ab)^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv \pm 1\pmod{p_r^{c_r}}\end{aligned}

Vagyis az [ab]_n maradékosztály szintén benne van D_n-ben. Mivel ez a 20.5. Tétel alapján épp az [a]_n és [b]_n maradékosztályok szorzata, ezért D_n valóban zárt a (\Z/n\Z)^{\times} csoport műveletére nézve. Minthogy a 24.13. Következmény mindhárom feltétele teljesül, ezért D_n részcsoport (\Z/n\Z)^{\times}-ben, azaz D_n\leq (\Z/n\Z)^{\times}.

Most az 1. állítás másik felét, azaz a H_n\leq D_n részcsoport relációt igazoljuk. A 24.19. Tétel 2. pontja alapján azt már tudjuk, hogy H_n részcsoport (\Z/n\Z)^{\times}-ban, azaz zárt a maradékosztályok közötti szorzásra nézve. Így már csak a H_n\sube D_n tartalmazási relációt kell igazolni. Legyen ezért [a]_n a H_n halmaz egy tetszőleges eleme és mutassuk meg róla, hogy ő egyúttal benne van D_n-ben is. Mivel [a]_n\in H_n, így a tétel szövege alapján a-ra teljesül az alábbi kongurencia:

a^{2^{j_{\text{max}}}k}\equiv \pm 1\pmod n

Ám ekkor az n prímtényezős felbontásában szereplő összes p_i^{c_i} tényező esetén a 20.2. Tétel 9. pontja alapján teljesül az alábbi kongruencia is:

a^{2^{j_{\text{max}}}k}\equiv \pm 1\pmod{p_i^{c_i}}

Ez viszont a tétel szövege alapján épp azt jelenti, hogy [a]_n\in D_n, azaz valóban teljesül a H_n\sube D_n tartalmazási reláció, és így H_n tényleg részcsoport D_n-ben. Ezzel igazoltuk a tétel 1. állítását.

A 2. állítás igazolásához ki kellene számítani a H_n részcsoport D_n-beli indexét. Ezt nem közvetlenül fogjuk megtenni, hanem a 25.14. Tétel alkalmazásával, méghozzá a következő lépésekben:

1. Konstruálunk egy olyan I_n-nel jelölt csoportot, amelyben már könnyű kiszámítani a részcsoportindexeket.
2. Konstruálunk egy D_n-ből I_n-be képző csoporthomomorfizmust.
3. Megmutatjuk, hogy ez egy szürjektív csoporthomomorfizmus, azaz minden I_n-beli elem hozzá van rendelve legalább egy D_n-beli elemhez.
4. Megmutatjuk, hogy a H_n részcsoport teljes egészében tartalmazza ennek a bizonyos csoporthomomorfizmusnak a magját.
5. Megkeressük azt az I_n-beli részcsoportot, amelynek teljes inverz képe épp H_n.
6. Ennek a részcsoportnak az I_n-beli indexe már könnyen kiszámítható lesz, amely a 25.14. Tétel 2. pontja alapján épp meg fog egyezni a H_n részcsoport D_n-beli indexével.

Kezdjük az 1. lépéssel! A kérdéses I_n csoport álljon az összes olyan r hosszú sorozatból – ahol ugye r a tétel szövege alapján az n egész szám különböző prímtényezőinek a számát jelöli –, amelyeknek mindegyik komponensében +1 vagy -1 áll. Azaz például az alábbi r darab komponensből álló sorozat legyen I_n egyik eleme:

\underbrace{(+1;-1;-1;+1;\ldots;-1)}_{r\ \text{darab komponens}}

Az I_n tehát tulajdonképpen nem más, mint a \{+1;-1\} halmaz r-szer önmagával vett direkt szorzata (lásd a 22.3. Definíciót). Az I_n csoportművelete legyen a 25.15. Tételben definiált komponensenkénti szorzás. Azaz két ilyen +1-ekből és -1-ekből álló r hosszú sorozat szorzata legyen az a szintén r hosszú sorozat, amelynek mindegyik komponense a két bemeneti sorozat azonos pozícióban lévő komponenseinek szorzata.

Mivel a \{+1;-1\} halmaz épp az egész számok \Z gyűrűjének egységeiből áll, ezért ez a halmaz a szokásos szorzással tulajdonképpen \Z multiplikatív csoportját alkotja (lásd a 24.3. Definíció utáni megjegyzést). Ekkor azonban a 25.15. Tétel alapján I_n is csoport a komponensenkénti szorzással, mint művelettel. Minthogy az I_n csoport r hosszú sorozatokból áll, és egy-egy ilyen sorozat minden komponense +1 vagy -1 lehet, ezért I_n rendje 2^r.

Most 2. lépésként egy D_n-ből I_n-be képező f_n:D_n\to I_n csoporthomomorfizmust konstruálunk a következőképpen. Legyen [a]_n a D_n csoport egy tetszőleges eleme. Ekkor ugye a tétel szövege alapján az a^{2^{j_{\text{max}}}k} hatvány az n prímtényezős felbontásában szereplő minden p_i^{c_i} tényező esetén +1-gyel vagy -1-gyel lesz kongruens modulo p_i^{c_i}. Az f_n függvény tehát rendelje hozzá [a]_n-hez azt az I_n-beli sorozatot, melynek i-edik komponensében épp az ennek megfelelő +1 vagy -1 egész szám áll. Tegyük fel például, hogy a-ra az alábbi kongruenciák teljesülnek:

\begin{aligned}a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_1^{c_1}} \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv -1\pmod{p_2^{c_2}} \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_3^{c_3}} \\ &\vdots \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv -1\pmod{p_r^{c_r}}\end{aligned}

Ekkor az imént definiált f_n függvény az [a]_n\in D_n maradékosztályhoz az alábbi sorozatot rendeli hozzá az I_n csoportból:

[a]_n \xmapsto{f_n} (+1;-1;+1;\ldots;-1)

Könnyen láthatóan f_n valóban egy csoporthomomorfizmus. Tekintsünk ugyanis két tetszőleges [a]_n és [b]_n maradékosztályt a D_n halmazban, és legyen p_i^{c_i} egy tetszőleges tényező az n prímtényzős felbontásában. Ekkor a tétel szövege alapján az a^{2^{j_{\text{max}}}k} és b^{2^{j_{\text{max}}}k} hatványok +1-gyel vagy -1-gyel lesznek kongruensek modulo p_i^{c_i}. Tegyük fel, hogy jelen esetben az alábbi kombináció teljesül, de természetesen a gondolatmenet a másik három kombinációra is végigjátszható:

\begin{aligned}a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_i^{c_i}} \\ b^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv -1\pmod{p_i^{c_i}}\end{aligned}

Ekkor az f_n([a]_n) sorozat i-edik pozíciójában +1, míg az f_n([b]_n) szorozat i-edik pozíciójában -1 fog szerepelni:

\begin{aligned}[a]_n &\xmapsto{f_n} (\ldots;+1;\ldots) \\ [b]_n &\xmapsto{f_n} (\ldots;-1;\ldots)\end{aligned}

E két sorozat szorzatában pedig ennek megfelelően -1 lesz az i-edik pozícióban, hiszen 1\cdot (-1)=-1:

? \xmapsto{f_n} (\ldots;-1;\ldots)

Azt kell igazolni, hogy f_n tartja a két csoport műveletét, azaz hogy a baloldali kérdőjel helyére behelyettesítve az [a]_n és [b]_n maradékosztályok szorzatát teljesül a fenti hozzárendelés. Mivel ez a szorzat a 20.5. Tétel alapján épp az [ab]_n maradékosztállyal egyezik meg, ezért az a kérdés, hogy teljesül-e az alábbi hozzárendelés:

[ab]_n \xmapsto{f_n} (\ldots;-1;\ldots)

Vagyis az f_n függvény definíciója alapján az a kérdés, hogy teljesül-e az alábbi kongruencia:

(ab)^{2^{j_{\text{max}}}k} \equiv -1\pmod{p_i^{c_i}}

Ez viszont nyilván teljesül, hiszen ezt a kongruenciát épp az a-ra és b-re vonatkozó két fentebbi kongruencia összeszorzásával kapjuk meg. Minthogy a fenti gondolatmenet az n prímtényezős felbontásában szereplő összes többi tényezőre is szóról-szóra megismételhető, ezért f_n valóban egy csoporthomomorfizmus D_n-ből I_n-be.

A 3. lépéshez meg kell mutatni, hogy az f_n csoporthomomorfizmus szürjektív. Azaz tetszőleges r hosszú, +1-ekből és -1-ekből álló sorozathoz létezik olyan [a]_n\in D_n maradékosztály, amely épp a kérdéses sorozatnak egy f_n szerinti ősképe. Nevezzük most bázissorozatoknak azokat a sorozatokat, melyeknek pontosan egy komponense -1, a többi viszont +1. Ezekből a bázissorozatokból szorzásokkal előállítható az I_n csoport tetszőleges X eleme, méghozzá a következő egyszerű eljárással:

• Vegyük az egyik tetszőleges bázissorozatot, és szorozzuk meg önmagával. Ekkor a csupa +1-ekből álló sorozatot kapjuk.
• Ezt szorozzuk meg azokkal a bázissorozatokkal, amelyeknél épp azokban a pozíciókban van -1, ahol a keresett X sorozatban is.

Az így megkapott X sorozatnak viszont f_n művelettartó tulajdonsága miatt épp az a D_n-beli maradékosztály lesz az ősképe, amelyet az X előállításához használt bázissorozatok ősképeinek D_n-beli szorzataként kapunk.

Például tegyük fel, hogy X előáll az X_1, X_2 és X_3 bázissorozatok szorzataként az I_n csoportban, azaz az iménti eljárással:

X_1\cdot X_1\cdot X_2\cdot X_3=X

Tegyük fel, hogy az X_1, X_2 és X_3 bázissorozatok f_n szerinti ősképei D_n-ben mondjuk rendre az A_1, A_2 és A_3 maradékosztályok, azaz:

\begin{aligned}f_n(A_1)&=X_1 \\ f_n(A_2)&=X_2 \\ f_n(A_3)&=X_3\end{aligned}

Ekkor az f_n csoporthomomorfizmus művelettartó tulajdonsága miatt:

\underbrace{f_n(A_1)}_{=X_1}\cdot \underbrace{f_n(A_1)}_{=X_1}\cdot \underbrace{f_n(A_2)}_{=X_2}\cdot \underbrace{f_n(A_3)}_{=X_3}=\underbrace{f_n(A_1\cdot A_1\cdot A_2\cdot A_3)}_{=X}

Elegendő tehát megmutatni, hogy a bázissorozatoknak létezik ősképe, ezek ismeretében ugyanis a fenti eljárással megtalálhatjuk tetszőleges X sorozat ősképét is. Ez a fenti példában nevezetesen az A_1\cdot A_1\cdot A_2\cdot A_3 szorzat lesz. Ha tehát megmutatjuk, hogy a bázissorozatokhoz létezik őskép, akkor azzal egyúttal azt is megmutattuk, hogy bármely I_n-beli sorozathoz is létezik őskép, azaz f_n valóban szürjektív.

Tekintsünk ezért most egy tetszőleges B_i bázissorozatot, amelynek tehát az i-edik pozíciójában -1, az összes többi pozíciójában pedig +1 szerepel. E sorozat ősképének előállításához lényegében a 24.19. Tétel 4. állításának bizonyításában szereplő gondolatmenetet fogjuk megismételni. Az n ugye felírható n=p_i^{c_i}m alakban, ahol p_i^{c_i} az n prímtényezős felbontásában szereplő i-edik tényező, az m pedig az összes többi tényező szorzata. Azaz p_i^{c_i} és m relatív prímek. Ekkor ugye érvényes a kínai maradéktétel (22.2. Tétel), amelynek következményeként a 22.8. Tétel alapján fennáll az alábbi gyűrűizomorfizmus:

\Z/n\Z \simeq \Z/p_i^{c_i}\Z \times \Z/m\Z

A tétel szövegéből ugye azt is tudjuk, hogy a j_{\text{max}} kitevőhöz létezik olyan s egész szám, amelyre teljesül az alábbi kongruencia:

s^{2^{j_{\text{max}}}}\equiv -1\pmod n

Továbbá az említett bizonyításban azt is megmutattuk, hogy ekkor az s^{2^{j_{\text{max}}}} hatvány -1-gyel kongruens modulo p_i^{c_i} is, azaz:

s^{2^{j_{\text{max}}}}\equiv -1\pmod{p_i^{c_i}}

Ezt az s egész számot most felhasználjuk a keresett B_i bázissorozat ősképének előállításához. Legyen ez az őskép azon a egész szám által reprezentált [a]_n maradékosztály, amelyhez a 22.8. Tételben szereplő g gyűrűizomorfizmus épp az ([s]_{p_i^{c_i}};[1]_m) maradékosztálypárt rendeli hozzá a \Z/p_i^{c_i}\Z \times \Z/m\Z szorzatgyűrűből, azaz:

[a]_n \xmapsto{g} ([s]_{p_i^{c_i}};[1]_m)

Ha most a bal- és a jobboldalon álló kifejezést is 2^{j_{\text{max}}}k-adik hatványra emeljük, akkor g művelettartó tulajdonsága miatt érvényes lesz az alábbi hozzárendelés is:

[a^{2^{j_{\text{max}}}k}]_n \xmapsto{g} ([s^{2^{j_{\text{max}}}k}]_{p_i^{c_i}};[1^{2^{j_{\text{max}}}k}]_m)

Mivel k páratlan, és az s^{2^{j_{\text{max}}}} hatvány -1-gyel kongruens modulo p_i^{c_i}, ezért ez teljesülni fog az s^{2^{j_{\text{max}}}k} hatványra is. Így tehát a fenti hozzárendelés az alábbira egyszerűsödik:

[a^{2^{j_{\text{max}}}k}]_n \xmapsto{g} ([-1]_{p_i^{c_i}};[1]_m)

A 22.8. Tétel alapján a g gyűrűizomorfizmus a baloldalon lévő [a^{2^{j_{\text{max}}}k}]_n maradékosztályhoz az ([a^{2^{j_{\text{max}}}k}]_{p_i^{c_i}};[a^{2^{j_{\text{max}}}k}]_m) maradékosztálypárt rendeli hozzá, amely maradékosztálypár tehát megegyezik a jobboldalon látható ([-1]_{p_i^{c_i}};[1]_m) maradékosztálypárral. Teljesülnek tehát az alábbi kongruenciák:

\begin{aligned}a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv -1\pmod{p_i^{c_i}} \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod m\end{aligned}

Itt a második kongruencia m modulusa az n prímtényezős felbontásából minden p_i^{c_i}-n kívüli tényezőt tartalmaz, így tehát az a 20.2. Tétel 9. pontjának felhasználásával felbontható olyan kongruenciákra, amelyekben ezek a tényezők a modulusok. Azaz a fenti két kongruencia az alábbi r darab kongruenciával ekvivalens:

\begin{aligned}a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_1^{c_1}} \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_2^{c_2}} \\ &\vdots \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_{i-1}^{c_{i-1}}} \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv -1\pmod{p_i^{c_i}} \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_{i+1}^{c_{i+1}}} \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_{i+2}^{c_{i+2}}} \\ &\vdots \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_r^{c_r}}\end{aligned}

Ekkor az [a]_n maradékosztály egyrészt a tétel szövege alapján benne van D_n-ben, másrészt pedig az f_n csoporthomomorfizmus épp a B_i bázissorozatot rendeli hozzá, amelynek tehát az i-edik pozíciójában -1, az összes többi pozíciójában pedig +1 szerepel. Minthogy ilymódon tetszőleges bázissorozathoz találhatunk ősképet a D_n csoportban, ezért f_n valóban egy szürjektív csoporthomomorfizmus D_n-ből I_n-be.

A fentebb felvázolt stratégiánk 4. lépéseként megmutatjuk, hogy a tétel szövegében szereplő H_n részcsoport – amelynek tehát a D_n-beli indexét szeretnénk meghatározni – teljes egészében tartalmazza az f_n csoporthomomorfizmus magját. Ezt most jelöljük K_n-nel, azaz:

K_n=\ker{f_n}

Azt szeretnénk tehát megmutatni, hogy a következő a helyzet:

Tekintsünk ezért egy tetszőleges [a]_n\in K_n maradékosztályt, és mutassuk meg, hogy ekkor [a]_n\in H_n is teljesül. Mivel [a]_n benne van az f_n csoporthomomorfizmus K_n-nel jelölt magjában, ezért az ő f_n szerinti képe épp az I_n csoport egységeleme lesz. Ez nem más, mint a csupa +1-esekből álló r hosszú sorozat, azaz:

[a]_n \xmapsto{f_n} (+1;+1;\ldots;+1)

Az f_n csoporthomomorfizmus definíciójából adódik, hogy ekkor teljesülnek az alábbi kongruenciák:

\begin{aligned}a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_1^{c_1}} \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_2^{c_2}} \\ &\vdots \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod{p_r^{c_r}}\end{aligned}

Ez a 20.1. Tétel 3. pontja alapján azt jelenti, hogy az n prímtényezős felbontásában szereplő összes p_i^{c_i} tényezőre igaz, hogy ő osztója az a^{2^{j_{\text{max}}}k}-1 különbségnek is. Ekkor azonban nyilván maga n is osztója ennek a különbségnek, hiszen:

\underbrace{p_1^{c_1}\cdot p_2^{c_2}\cdot \ldots \cdot p_r^{c_r}}_{=n}|a^{2^{j_{\text{max}}}k}-1

Ez viszont ismét a 20.1. Tétel 3. pontja alapján épp azt jelenti, hogy teljesül az alábbi kongruencia:

a^{2^{j_{\text{max}}}k}\equiv 1\pmod n

Tehát a tétel szövege alapján [a]_n\in H_n, azaz valóban teljesül a K_n\sube H_n tartalmazási reláció.

5. lépésként meghatározzuk azt az I_n-beli részcsoportot, amelynek teljes inverz képe épp H_n. Nézzük ezért először, hogy H_n elemei milyen I_n-beli sorozatokra képződnek le f_n által. Ha [a]_n a H_n részcsoport valamely eleme, akkor a tétel szövege alapján az alábbi kongruenciák közül teljesül valamelyik:

\begin{aligned}a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv +1\pmod n \\ a^{2^{j_{\text{max}}}k} &\equiv -1\pmod n\end{aligned}

Ez viszont a 20.2. Tétel 9. pontja alapján azt jelenti, hogy az a^{2^{j_{\text{max}}}k} hatvány vagy +1-gyel, vagy pedig -1-gyel kongruens modulo p_i^{c_i} is az n egész szám prímtényezős felbontásában szereplő minden p_i^{c_i} tényező esetén. Az f_n függvény tehát a definíciója alapján H_n elemeihez vagy a csupa +1-esekből, vagy pedig a csupa -1-esekből álló sorozatot rendeli hozzá.

Azt kell még megmutatni, hogy ez csak a H_n-beli elemekre igaz. Legyen ezért [a]_n\in D_n most egy olyan maradékosztály, amely nincs benne H_n-ben. Tegyük fel indirekt, hogy az f_n függvény őt ennek ellenére a (+1;+1;\ldots;+1) vagy a (-1;-1;\ldots;-1) sorozatok valamelyikére képezi le. Ez az f_n függvény definíciója alapján azt jelentené, hogy az a^{2^{j_{\text{max}}}k} hatvány vagy +1-gyel, vagy pedig -1-gyel kongruens modulo p_i^{c_i} az n prímtényezős felbontásában szereplő minden p_i^{c_i} tényező esetén. Az előző gondolatmenet alapján tehát ez a hatvány +1-gyel vagy -1-gyel lenne kongruens modulo n is, ami azt jelentené, hogy [a]_n mégiscsak benne lenne H_n-ben, ami ellentmondás.

Összefoglalva tehát az 1. lépésben mutattunk egy csoportot, amelyben könnyű részcsoportindexeket számolni. Ez lenne az I_n csoport, amelynek tehát a rendje 2^r. Ezután a 2. lépésben egy f_n csoporthomomorfizmust mutattunk D_n és I_n között. Ezután 3. lépésként igazoltuk, hogy f_n szürjektív, majd 4. lépésként azt, hogy a D_n csoport H_n részcsoportja teljes egészében tartalmazza f_n magját. Végül az 5. lépésben igazoltuk, hogy H_n a teljes inverz képe I_n azon kételemű részcsoportjának, amely csak a csupa +1-ből és a csupa -1-ből álló sorozatból áll. Nevezzük most ezt a részcsoportot J_n-nek.

Minden adott tehát, hogy a 6. lépésben alkalmazzuk a 25.14. Tételt. Ez alapján a J_n szerinti baloldali mellékosztályok kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésben állnak a H_n szerinti baloldali mellékosztályokkal, következésképp az |I_n:J_n| részcsoportindex épp megegyezik a |D_n:H_n| részcsoportindexszel. Mivel J_n rendje 2, I_n rendje pedig 2^r, ezért a Lagrange-tétellel (24.8. Tétel) összevetve megkapjuk a tétel 2. állítását:

|I_n:J_n|=|D_n:H_n|=2^{r-1}