Előzetesen felhívjuk az Olvasó figyelmét, hogy a bizonyítás leírásában a 18.19. Definícióban szereplő komplexusszorzást és a G csoport szorzásnak nevezett műveletét jelölésben is élesen meg fogjuk különböztetni egymástól, mivel ki szeretnénk hangsúlyozni, hogy nagyon nem ugyanarról van szó. Míg előbbit simán egymás után írással, addig utóbbit a \cdot szimbólummal fogjuk jelölni.

Egyrészt az 1. feltétel – miszerint a_1 ugyanabban az N szerinti baloldali mellékosztályban van, mint a_2 – a 24.7. Tétel alapján azt jelenti, hogy az a_1N és az a_2N halmazok megegyeznek, azaz:

a_1N=a_2N

Ehhez hasonlóan a 2. feltétel az alábbi halmazegyenlőséget jelenti:

b_1N=b_2N

Ezek alapján tehát azt kell bizonyítanunk, hogy az (a_1\cdot b_1)N és az (a_2\cdot b_2)N halmazok is megegyeznek. Az (a_1\cdot b_1)N halmaz elemeit ugye a 18.19. Definíció alapján úgy kapjuk meg, hogy az (a_1\cdot b_1)\cdot x kifejezésbe x helyére az N normálosztó összes elemét behelyettesítjük. Ez a kifejezés viszont a 24.1. Definíció alapján a csoportművelet asszociativitása miatt átzárójelezhető:

a_1\cdot (b_1\cdot x)

Ha most itt csak a zárójelben lévő kifejezést tekintjük, és ebbe helyettesítjük be N összes elemét, akkor tulajdonképpen a b_1N baloldali mellékosztályt, mint halmazt kapjuk. Ebből következően az (a_1\cdot b_1)N halmaz elemeit úgy is megkaphatjuk, hogy az a_1\cdot y kifejezésbe y helyére a b_1N baloldali mellékosztály elemeit helyettesítjük be. Vagyis fennáll az alábbi halmazegyenlőség:

(a_1\cdot b_1)N=a_1(b_1N)=\ldots

A 2. feltételből következően viszont a b_1N halmaz megegyezik a b_2N halmazzal, ami viszont – lévén, hogy N normálosztó – a 25.6. Definíció alapján megegyezik az Nb_2 halmazzal, azaz:

\ldots=a_1(Nb_2)=\ldots

Ennek a halmaznak az elemeit tehát úgy kapjuk meg, hogy az a_1\cdot y kifejezésbe y helyére az Nb_2 jobboldali mellékosztály elemeit helyettesítjük be, amelynek az elemeit viszont úgy kapjuk, hogy az x\cdot b_2 kifejezésbe x helyére az N normálosztó elemeit helyettesítjük be. Azaz lényegében az a_1\cdot (x\cdot b_2) kifejezésbe helyettesítettük be N elemeit, amely kifejezés viszont ismét az asszociativitás miatt átzárójelezhető, tehát ugyanazt a halmazt kapjuk, ha az (a_1\cdot x)\cdot b_2 kifejezésbe helyettesítjük be N elemeit.

Ha most itt ismét csak a zárójelben lévő kifejezést tekintjük, és ebbe helyettesítjük be N összes elemét, akkor tulajdonképpen az a_1N baloldali mellékosztályt, mint halmazt kapjuk. Ebből következően az a_1(Nb_2) halmaz elemeit úgy is megkaphatjuk, hogy az y\cdot b_2 kifejezésbe y helyére az a_1N baloldali mellékosztály elemeit helyettesítjük be. Vagyis a fenti halmazegyenlőségi sorozatot tovább folytathatjuk:

\ldots=(a_1N)b_2=\ldots

A 2. feltételből következően viszont az a_1N halmaz megegyezik az a_2N halmazzal, ami viszont – lévén, hogy N normálosztó – a 25.6. Definíció alapján megegyezik az Na_2 halmazzal, azaz:

\ldots=(Na_2)b_2=\ldots

A fenti, a csoportművelet asszociativitására építő gondolatmenetet megismételve ez viszont az N(a_2\cdot b_2) jobboldali mellékosztállyal lesz azonos, ami viszont meg fog egyezni az (a_2\cdot b_2)N baloldali mellékosztállyal, hiszen N ugye normálosztó:

\ldots=N(a_2\cdot b_2)=(a_2\cdot b_2)N

Tehát valóban megkaptuk a tétel állítását, miszerint az (a_1\cdot b_1)N és az (a_2\cdot b_2)N baloldali mellékosztályok megegyeznek, vagy másként fogalmazva az a_1\cdot b_1 szorzat valóban ugyanabban a baloldali mellékosztályban van, mint az a_2\cdot b_2 szorzat.