Az biztos, hogy a\neq 0, hiszen máskülönben b=0 lenne a 16.2. Tétel 4. pontja miatt. A rendezési reláció trichotómiájából (lásd a 12.11. Definíciót), valamint a\neq 0-ból következően a\lt 0 vagy a\gt 0 közül pontosan az egyik teljesül.

Az a\lt 0 esettel nem kell különösebben foglalkoznunk, hiszen ekkor 0\lt b miatt nyilván következik a\leq b a rendezési reláció tranzitivitása miatt (lásd a 12.10. Definíciót).

Nézzük tehát a 0\lt a esetet. Az oszthatóság 16.1. Definíciója miatt a|b-ből következik, hogy létezik olyan k egész szám, amelyre teljesül az alábbi egyenlet:

a\cdot k = b

A 13.10. Definíció szerinti pozitív és negatív egész számok, valamint a 0 a 13.9. Tétel értelmében lefedik a teljes \Z halmazt. Emiatt az egészek szorzásának 14.3. Definíciója alapján egy szorzat előjele az alábbiak szerint alakulhat a tényezők előjelének függvényében:

\begin{aligned}\text{pozitív}\cdot \text{pozitív} &= \text{pozitív} \\ \text{pozitív}\cdot \text{negatív} &= \text{negatív} \\ \text{negatív}\cdot \text{pozitív} &= \text{negatív} \\ \text{negatív}\cdot \text{negatív} &= \text{pozitív} \end{aligned}

Mivel a fenti egyenletben a is és b is pozitív, ezért szükségképpen k is pozitív kell legyen, azaz 0\lt k. Továbbá az egyenlet a disztributivitási szabályok miatt átalakítható a következőképpen:

a\cdot k=a\cdot (1+k-1)=a+a\cdot (k-1)=b

Itt teljesül, hogy 0\leq a\cdot (k-1), hiszen a ugye pozitív, k-1 pedig pozitív vagy 0. Létezik tehát olyan természetes szám (vagy más szavakkal nemnegatív egész szám), amelyet a-hoz adva b-t kapunk, nevezetesen az a\cdot (k-1). Ez viszont a 15.18. Definíció miatt épp azt jelenti, hogy a\leq b.