Előszöris az világos, hogy r nemnegatív, hiszen az ő és az ellentettjének a négyzete megegyezik, így ha negatív lenne, akkor nem ő lenne a legnagyobb olyan egész szám, amelyre r^2\leq |n| teljesül.

Másodszor r biztosan nem lehet nulla sem. A 17.19. Tétel alapján ugyanis az abszolútérték-függvény egy euklidészi norma az egész számok \Z gyűrűjén, és így a 17.16. Definíció 1. pontja alapján n\neq 0-ból |n|\neq 0, azaz végülis 1\leq |n| következik. Ha mármost r nulla lenne, akkor igaz ugyan, hogy a négyzete nem haladná meg |n|-t, ám ekkor lenne nála nagyobb ugyanilyen tulajdonságú szám is (például az 1).

Összefoglalva r-re teljesülni fog az 1\leq r egyenlőtlenség, ebből pedig a 15.11. Definícióban ismertetett 2. rendezési axióma alapján r\leq r^2 következik. Ezt összevetve a tétel szövegében szereplő r^2\leq |n| feltétellel teljesül az alábbi:

1\leq r\leq |n|

Ennyi előkészület után igazoljuk a tétel állítását. Tegyük fel, hogy n prím. Ekkor a 23.1. Tétel alapján egyáltalán nincsen osztója 1 és |n| között. Következésképp az ennél szűkebb, 1 és r közötti szakaszon „méginkább” nincs osztója.

Visszafelé: Először azt az esetet igazoljuk, amikoris n pozitív. Tegyük fel, hogy n összetett, azaz létezik valamilyen n=k\cdot l nemtriviális felbontása. Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy k és l mindketten pozitívak, máskülönben ellentettjüket véve ez az állapot elérhető. Azt kell igazolni, hogy k és l közül legalább az egyik nemnagyobb r-nél. Tegyük fel indirekt, hogy nem ez a helyzet, vagyis az alábbi két eset valamelyike áll fenn:

\begin{aligned}r&\lt k\leq l \\ r&\lt l\leq k\end{aligned}

Első esetben a jobboldali egyenlőtlenség mindkét oldalát k-val megszorozva az alábbit kapjuk: k^2\leq k\cdot l=n. Ez viszont r\lt k miatt lehetetlen, hiszen a tétel szövege alapján r a legnagyobb olyan szám, amelynek négyzete |n|=n-t nem lépi túl.

Ehhez hasonlóan a második esetben a jobboldali egyenlőtlenség mindkét oldalát l-lel megszorozva ezt kapjuk: l^2\leq l\cdot k=n. Ez r\lt l miatt az előbb ismertetett okból szintén lehetetlen.

Indirekt feltételezésünk hibás volt, vagyis k és l közül az egyik biztosan nem lehet nagyobb r-nél, ahogyan a tétel állítja.

Végezetül nézzük most azt az esetet, amikor n negatív, azaz n\lt 0. Ekkor egyrészt a 15.12. Definíció utáni megjegyzés alapján -n pozitív. Másrészt pedig a 16.8. Tétel 1. pontja alapján ő n-nek asszociáltja, azaz pontosan ugyanazok az osztói, mint n-nek. Így n akkor és csak akkor prím, ha -n is, amelyre viszont pozitivitása miatt szóról szóra alkalmazható a fenti gondolatmenet.