Mivel x\neq y, ezért x-y\neq 0, és így v_p(x-y) a 24.15. Definíció alapján egy véges nemnegatív szám, amiről a tétel szövege alapján tudjuk, hogy nemnulla, tehát v_p(x-y)\geq 1. Jelöljük ezt a számot k-val, azaz vezessük be az alábbi jelölést:

k=v_p(x-y)

Ez a p-adikus rend 24.15. Definíciója szerint azt jelenti, hogy az x-y különbség prímtényezős felbontásában a p prímtényező a k-adik hatványon szerepel. Létezik tehát olyan m egész szám, amely tovább már nem osztható p-vel, és teljesül rá az alábbi:

x-y=p^km

Az x tehát kifejezhető a következőképpen:

x=p^km+y

Most vizsgáljuk meg, hogyan néz ki x=p^km+y-nak a p-edik hatványa:

x^p=(p^km+y)^p=?

Ez ugye egy p darab tényezőből álló kifejezés, amelyben minden tényező egy-egy kéttagú összeg, nevezetesen ez: (p^km+y). Az áttekinthetőség kedvéért a zárójelekben szereplő első tagra átmenetileg vezessük be a z=p^km jelölést. Ekkor tulajdonképpen az alábbi szorzást kéne tehát elvégezni:

\underbrace{(z+y)\cdot (z+y)\cdot \ldots \cdot (z+y)}_{\text{p darab}}

Vizsgáljuk meg, hogy milyen alakot ölt az eredmény, ha felbontjuk ezt a p darab zárójelet. A 14.12. Definícióban szereplő disztributivitási szabályok alapján ezt úgy kell elvégezni, hogy minden zárójelből az összes lehetséges kombinációban kiválasztunk pontosan egy tagot, ezeket összeszorozzuk egymással, és az így kapott szorzatokat összeadjuk.

Megtehetjük például, hogy mind a p darab zárójelből a z tagot választjuk, és 0 darab zárójelből választjuk az y tagot. Ez a választás a z^py^0=z^p szorzatot fogja eredményezni, és nyilván csak egyféleképpen tudjuk megtenni. A végeredmény tehát így fog kezdődni:

(z+y)^p = z^p + \ldots

Egy másik választás lehet, amikor 1 darab zárójelből választjuk ki az y tagot, és a maradék p-1 darab zárójelből továbbra is a z tagot választjuk. Ezek a választások mind a z^{p-1}y^1 szorzatot fogják eredményezni. Ilyen szorzatból viszont már p darab van, hiszen azt az egyetlen y tagot választhatjuk az 1., a 2., a 3., …, és végül a p-edik zárójelből. A végeredmény tehát így folytatódik:

\begin{aligned}(z+y)^p &= z^p \\ &+ p\cdot z^{p-1}y \\ &+ \ldots\end{aligned}

A következő kombinációk azok lesznek, amelyek esetén 2 darab zárójel esetén választjuk ki az y tagot. Ekkor a fennmaradó p-2 zárójelből a z tagot kell választanunk, tehát ezek a kombinációk mind a z^{p-2}y^2 szorzatot fogják eredményezni. Ezért a z^{p-2}y^2 szorzatból épp annyi fog szerepelni a végeredményben, ahányféleképpen p darab zárójelből ki tudjuk választani azt a 2 darabot, amelyek az y tényezőt adják az adott szorzathoz. Anélkül, hogy bonyolultabb kombinatorikai fejtegetésbe bonyolódnánk, jelöljük ezt a számot A_2-vel. A végeredmény tehát így folytatódik:

\begin{aligned}(z+y)^p &= z^p \\ &+ p\cdot z^{p-1}y \\ &+ A_2\cdot z^{p-2}y^2 \\ &+ \ldots\end{aligned}

Általánosságban ha 0-tól kezdve sorszámozzuk a végeredmény tagjait, akkor az i-edik tag azokat a kombinációkat fogja tartalmazni, amelyek esetén i darab zárójel esetén választjuk ki az y tagot. Ekkor a fennmaradó p-i zárójelből kell a z tagot választanunk, tehát ezek a kombinációk mind a z^{p-i}y^i szorzatot fogják eredményezni. Ilyenből épp annyi fog szerepelni a végeredményben, ahányféleképpen p darab zárójelből ki tudjuk választani azt az i darabot, amelyek az y tényezőt adják az adott szorzathoz. Mivel ismét nem szeretnénk kombinatorikával szórakozni, ezért jelöljük ezt a számot nagyvonalúan A_i-vel. Ezért a végeredmény i-edik tagja így néz ki:

A_i\cdot z^{p-i}y^i

Mindent összevetve tehát (z+y)^p teljes kifejtése így néz ki:

\begin{aligned}(z+y)^p &= A_0\cdot z^p \\ &+ A_1\cdot z^{p-1}y \\ &+ A_2\cdot z^{p-2}y^2 \\ &\ \vdots \\ &+ A_i\cdot z^{p-i}y^i \\ &\ \vdots \\ &+A_{p-1}\cdot zy^{p-1} \\ &+ A_p\cdot y^p\end{aligned}

Ahogyan megállapítottuk már, itt A_0=1 és A_1=p. Továbbá, mivel egyrészt p-féleképp lehet p darab zárójelből kiválasztani azt az egyet, amelyből NEM az y, hanem a z tagot választottuk ki, ezért természetesen A_{p-1}=p. Másrészt pedig egyféleképpen lehet az összes zárójelből az y tagot választani, ezért A_p=1. A többi A_i együttható pontos értékét az úgynevezett binomiális tétel alapján lehet kiszámítani, ám a bizonyítás szempontjából ez most nem érdekes számunkra.

Ha most visszafelé alkalmazzuk a z=p^km jelölést, akkor az x^p=(\underbrace{p^km}_{=z}+y)^p hatványra lényegében ezt a kifejezést kaptuk:

\begin{aligned}x^p&=(\underbrace{p^km}_{=z})^p + p\cdot (\underbrace{p^km}_{=z})^{p-1}y + A_2\cdot (\underbrace{p^km}_{=z})^{p-2}y^2 + \ldots \\ &\ldots + A_{p-2}\cdot (\underbrace{p^km}_{=z})^2y^{p-2} + p\cdot (\underbrace{p^km}_{=z})y^{p-1} + y^p\end{aligned}

Alkalmazva a hatványozás azonosságairól szóló 18.8. Tétel mindhárom pontját:

\begin{aligned}x^p&=p^{pk}m^p + p^{(p-1)k+1}m^{p-1}y + A_2\cdot p^{(p-2)k}m^{p-2}y^2 + \ldots \\ &\ldots + A_{p-2}\cdot p^{2k}m^2y^{p-2} + p^{k+1}my^{p-1} + y^p\end{aligned}

Minket ugye az x_p-y_p különbség p-adikus rendje érdekel. Ezt a különbséget megkapjuk, ha a fenti összegzésből elhagyjuk az utolsó, y^p tagot:

\begin{aligned}x^p-y^p&=p^{pk}m^p + p^{(p-1)k+1}m^{p-1}y + A_2\cdot p^{(p-2)k}m^{p-2}y^2 + \ldots \\ &\ldots + A_{p-2}\cdot p^{2k}m^2y^{p-2} + p^{k+1}my^{p-1}\end{aligned}

Azt kell meghatározni tehát, hogy a fenti kifejezés p-nek legfeljebb hányadik hatványával osztható. Mivel a bizonyítás elején megállapítottuk, hogy k\geq 1, ezért p^{k+1}-gyel minden fenti tag osztható, teljesül tehát az alábbi oszthatóság:

p^{k+1}|x^p-y^p

Most nézzünk ennél 1-gyel magasabb hatványt, azaz p^{k+2}-t. Az utolsó előtti tagig bezárólag szintén minden fenti tag osztható p^{k+2}-vel. Kérdés, hogy mi a helyzet az utolsó, p^{k+1}my^{p-1} taggal.

Az m egész szám biztosan nem tartalmazza a p prímtényezőt, hiszen a bizonyítás elején őt épp így állítottuk elő. Továbbá a tétel szövege szerint v_p(xy)=0, ami a 24.15. Definíció alapján épp azt jelenti, hogy az xy szorzat sem tartalmazza a p prímtényezőt, így tehát maga y sem. A p^{k+1}my^{p-1} szorzat prímtényezős felbontásában p így csak a k+1-edik hatványon szerepel, azaz nem osztható p^{k+2}-vel. Így viszont a teljes összeg sem osztható p^{k+2}-vel, azaz:

p^{k+2}\nmid x^p-y^p

Ezt összevetve a fentebb megállapított p^{k+1}|x^p-y^p oszthatósággal, a 24.15. Definíció szerint lényegében megkaptuk a tétel állítását:

v_p(x^p-y^p)=\underbrace{k}_{=v_p(x-y)}+1