Előszöris megmutatjuk, hogy a 26.3. Definícióban bevezetett műveletek nem vezetnek ki az R[x] halmazból, azaz algebrai értelemben is műveletek (lásd a 11.3. Definíciót).

A 26.4. Tétel 1. és 2. pontjai alapján ugyanis nemnulla polinomok összegének foka legfeljebb a polinomok fokainak maximuma, továbbá ugyanezen tétel 3. pontja alapján nemnulla polinomok szorzatának foka legfeljebb a polinomok fokainak összege, hacsak az eredmény nem maga a nullapolinom. Ezekben az esetekben tehát ha egy összeg tagjainak vagy egy szorzat tényezőinek foka véges, akkor az eredmény foka is véges, vagy az eredmény a nullapolinom. Emiatt R[x] valóban zárt a nemnulla polinomok összeadására és szorzására nézve.

Az nyilvánvaló, hogy a polinomok összeadása kommutatív és asszociatív, hiszen a 26.3. Definíció alapján azt tagonként kell elvégezni az R gyűrűben, ahol teljesül ez a két tulajdonság. Ezenkívül ha egy polinomhoz akár jobbról, akár balról a nullapolinomot adjuk, akkor az eredmény nem változik, hiszen a nullapolinom minden tagja az R gyűrű nulleleme, ezért a tagonkénti összeadás egyetlen tagot sem változtat meg. Egyrészt tehát az R[x] halmaz a nullapolinommal való összeadásra nézve is zárt, másrészt a nullapolinom valóban neutrális elem az R[x]-beli összeadásra nézve. A tételben szereplő -f-fel jelölt polinomra továbbá teljesül az alábbi, amennyiben az R gyűrű nullelemét 0_R-rel jelöljük:

f+(-f)=(a_0-a_0, a_1-a_1,\ldots)=(0_R,0_R,\ldots)

A már bizonyított kommutativitás miatt a másik irányú összeadásra ugyanez teljesül. Az f-et -f-fel akár jobbról, akár balról összeadva tehát a nullapolinomot kapjuk, amely emiatt f ellentettje a polinomok összeadására nézve.

Továbbá ha egy polinomot jobbról vagy balról a nullapolinommal szorozzuk, akkor az eredmény tetszőleges k-adik tagja a 26.3. Definícióban szereplő képlet alapján az alábbiak szerint alakul:

\begin{aligned}&a_0\cdot 0_R+a_1\cdot 0_R+\ldots +a_k\cdot 0_R = 0_R \\ &0_R\cdot a_k + 0_R\cdot a_{k-1} + \ldots + 0_R\cdot a_0 = 0_R\end{aligned}

Ilyenkor az eredmény tehát a nullapolinom, és így R[x] zárt a nullapolinommal való szorzásra nézve is.

Igazoltuk tehát a műveleti zártságot, továbbá a 14.12. Definícióban szereplő 1., 2. és 3. gyűrűaxiómákat. Így annak igazolásához, hogy R[x] gyűrű, már csak a szorzás kommutativitását, asszociativitását és a disztributivitási tulajdonságot kell ellenőrizni. A továbbiakban ezért legyenek f=(a_0,a_1,\ldots), g=(b_0,b_1,\ldots) és h=(c_0,c_1,\ldots) az R[x] halmaz tetszőleges elemei. A kommutativitás igazolásához írjuk fel az f\cdot g és a g\cdot f szorzatpolinomok tetszőleges k-adik tagját a 26.3. Definícióban szereplő képlettel:

\begin{aligned}&a_0b_k+a_1b_{k-1}+\ldots +a_kb_0 \\ &b_0a_k + b_1a_{k-1}+ \ldots + b_ka_0\end{aligned}

Mivel az R gyűrűben a szorzás kommutatív, ezért ez a két kifejezés azonos, így tehát az R[x]-beli szorzás is kommutatív.

Az asszociativitáshoz írjuk fel először az f\cdot g szorzatpolinom tagjait:

\begin{array}{rl}\text{0. tag:} & a_0b_0 \\ \text{1. tag:} & a_0b_1 + a_1b_0 \\ \text{2. tag:} & a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0 \\ & \vdots \\ \text{k. tag:} & a_0b_k + a_1b_{k-1} + a_2b_{k-2} +\ldots +a_kb_0 \\ & \vdots \end{array}

Ha ezt a szorzatpolinomot megszorozzuk jobbról a h polinommal, akkor az (f\cdot g)\cdot h szorzatpolinomot kapjuk, amelynek tetszőleges k-adik tagja a 26.3. Definíció alapján az alábbi összeg lesz:

\begin{aligned}&a_0b_0c_k + \\ + &a_0b_1c_{k-1} + a_1b_0c_{k-1} + \\ + &a_0b_2c_{k-2} + a_1b_1c_{k-2} + a_2b_0c_{k-2} + \\ &\vdots \\ + &a_0b_kc_0 + a_1b_{k-1}c_0 + a_2k_{k-2}c_0 + \ldots + a_kb_0c_0\end{aligned}

Most írjuk fel a g\cdot h szorzatpolinom tagjait fordított sorrendben:

\begin{array}{rl}& \vdots \\ \text{k. tag:} & b_0c_k + b_1c_{k-1}+\ldots +b_kc_0 \\ \text{k-1. tag:} & b_0c_{k-1} + b_1c_{k-2} + \ldots + b_{k-1}c_0 \\ \text{k-2. tag:} & b_0c_{k-2} + b_1c_{k-3} +\ldots + b_{k-2}c_0 \\ & \vdots \\ \text{0. tag:} & b_0c_0 \end{array}

Ha ezt a szorzatpolinomot megszorozzuk balról az f polinommal, akkor az f\cdot (g\cdot h) szorzatpolinomot kapjuk, amelynek tetszőleges k-adik tagja a 26.3. Definíció alapján az alábbi összeg lesz:

\begin{aligned}&a_0b_0c_k + a_0b_1c_{k-1}+\ldots +a_0b_kc_0 + \\ + &a_1b_0c_{k-1} + a_1b_1c_{k-2} + \ldots + a_1b_{k-1}c_0 + \\ + &a_2b_0c_{k-2} + a_2b_1c_{k-3} +\ldots + a_2b_{k-2}c_0 + \\ &\vdots \\ + &a_kb_0c_0 \end{aligned}

Látható, hogy ennek az összegnek a soraiban pontosan ugyanazok a tagok szerepelnek, mint annak az összegnek az oszlopaiban, amelyet az (f\cdot g)\cdot h szorzatpolinom k-adik tagjára kaptunk. A két polinom tehát valóban megegyezik, azaz teljesül az alábbi asszociativitási tulajdonság:

(f\cdot g)\cdot h=f\cdot (g\cdot h)

Ezután a disztributivitási tulajdonságot igazoljuk. Mivel a szorzás kommutativitását már megmutattuk, ezért elegendő a 14.12. Definícióban szereplő 5. gyűrűaxiómából csak az egyik diszributivitási szabállyal foglalkozni. Írjuk fel az f\cdot (g+h) polinom tetszőleges k-adik tagját a 26.3. Definícióban szereplő képletek alapján:

a_0(b_k+c_k)+a_1(b_{k-1}+c_{k-1})+\ldots +a_k(b_0+c_0)

A zárójeleket felbonthatjuk, hiszen az R gyűrűben teljesülnek a disztributivitási szabályok:

\overbrace{a_0b_k + a_0c_k}^{=a_0(b_k+c_k)} + \overbrace{a_1b_{k-1} + a_1c_{k-1}}^{=a_1(b_{k-1}+c_{k-1})} + \ldots + \overbrace{a_kb_0 + a_kc_0}^{=a_k(b_0+c_0)}

Ezután írjuk fel az f\cdot g + f\cdot h polinom tetszőleges k-adik tagját is szintén a 26.3. Definícióban szereplő képletek alapján:

\begin{aligned}&a_0b_k + a_1b_{k-1} +\ldots a_kb_0 + \\ + &a_0c_k + a_1c_{k-1} + \ldots + a_kc_0\end{aligned}

Ugyanazokat a tagokat kaptuk, csak épp más sorrendben. Mivel azonban az R gyűrűben az összeadás kommutatív, ezért a két kapott kifejezés megegyezik, azaz valóban teljesül az alábbi disztributivitási szabály:

f\cdot (g + h)=f\cdot g + f\cdot h

Ezzel igazoltuk, hogy R[x] gyűrű a polinomok közötti műveletekkel. Most tegyük fel, hogy R egységelemes, és nézzük meg, hogy mi a helyzet, ha f-et akár balról, akár jobbról megszorozzuk a tételben szereplő (1_R,0_R,0_R,\ldots) polinommal. Mivel a szorzás ugye kommutatív, ezért elegendő csak az egyik, például a jobboldali szorzást ellenőrizni. E szorzat k-adik tagja a 26.3. Definícióban szereplő képlet alapján az alábbi lesz:

a_0\cdot 0_R + a_1\cdot 0_R + \ldots a_{k-1}\cdot 0_R + a_k\cdot 1_R

Látható, hogy ebben az összegben a k-adik tagot kivéve minden tag 0_R lesz. Azaz az (1_R, 0_R, 0_R, \ldots) polinommal való szorzás f minden együtthatóját helybenhagyja, és így R[x] valóban egységelemes.

Végül tegyük fel, hogy R nullosztómentes. Ekkor a 26.4. Tétel 4. pontja alapján bármely két nemnulla polinom szorzatának foka pontosan a két polinom fokának összege lesz. Vagyis az eredménynek van foka, és így az semmiképpen sem lehet a nullapolinom, ami ugye a 15.3. Definíció alapján azt jelenti, hogy R[x] is nullosztómentes.