Tegyük fel, hogy H részcsoport G-ben. Ekkor a műveleti zártság – azaz az 1. tulajdonság – nyilvánvalóan teljesül, máskülönben H nem lenne csoport a G műveletére nézve, és így részcsoport sem lehetne G-ben.

Mivel H-nak létezik egységeleme – hiszen maga is csoport –, ezért a 2. tulajdonsághoz azt kell megmutatni, hogy ez az egységelem megegyezik G egységelemével. Jelöljük H egységelemét e_H-val, G egységelemét pedig e_G-vel, és tegyük fel indirekt, hogy ez a kettő nem ugyanaz. Ha a kettő nem ugyanaz, akkor az sem mindegy, hogy melyik csoportban beszélünk inverzképzésről. Jelölje most {e_H}^{-1} az e_H elem G-beli inverzét. Őket összeszorozva tehát a G csoport egységelemét kell kapjuk, azaz:

e_H\cdot {e_H}^{-1}=e_G

Mivel e_H a H csoport egységeleme, ezért nyilvánvalóan igaz az alábbi:

e_H\cdot e_H=e_H

Végül, mivel e_G a G csoport egységeleme, ezért az alábbi is teljesül:

e_H\cdot e_G=e_H

Mivel H csoport, így a csoportművelet asszociativitása miatt:

(e_H\cdot e_H)\cdot {e_H}^{-1}=e_H\cdot (e_H\cdot {e_H}^{-1})

A baloldalt kifejtve ezt kapjuk:

\underbrace{(e_H\cdot e_H)}_{=e_H}\cdot {e_H}^{-1}=e_H\cdot {e_H}^{-1}=e_G

A jobboldalt kifejtve pedig ezt:

e_H\cdot \underbrace{(e_H\cdot {e_H}^{-1})}_{=e_G}=e_H\cdot e_G=e_H

Ez a kettő eredmény viszont a fentebb már említett asszociativitás miatt indirekt feltételezésünkkel ellentétben mégis meg kell egyezzen, így valóban e_G=e_H.

Végül az inverzképzésre való zártság – azaz a 3. tulajdonság – igazolásához képezzük a H csoport valamely a elemének inverzét mindkét csoportban, és megmutatjuk, hogy ezek valójában megegyeznek. A H-beli inverzet jelöljük x_H-val, míg a G-beli inverzet x_G-vel. Az a elemet a G-beli inverzével összeszorozva a G csoport egységelemét kell kapnunk, azaz:

a\cdot x_G=e_G

Ugyanakkor az a elemet a H-beli inverzével összeszorozva a H csoport egységelemét kell kapnunk, amiről azonban már láttuk, hogy megegyezik a G csoport egységelemével. Azaz:

a\cdot x_H=e_H=e_G

Minthogy a G-beli inverzképzés a 14.10. Tétel alapján egyértelmű, ezért szükségképpen x_H=x_G. Azaz a H csoport valóban zárt a G-beli inverzképzésre.

Visszafelé: Most azt kell megmutatnunk, hogy amennyiben teljesül mind a 3 tulajdonság, úgy H részcsoport G-ben. A G csoport művelete az 1. tulajdonság alapján nem vezet ki H-ból, így az algebrai értelemben művelet ezen a szűkebb halmazon is (lásd a 11.3. Definíciót). Továbbá a 2. és 3. tulajdonság miatt létezik egységelem, és minden elemnek létezik inverze is H-ban. Így a 24.1. Definíció szerinti csoportaxiómákból már csak a művelet asszociativitását kell igazolnunk. Ezeket azonban H megörökli a G-től a művelettel együtt. Így tehát H valóban részcsoport G-ben.