Nézzük először az elégségességet! Azaz egyrészt tegyük fel, hogy R-ben minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú, másrészt pedig azt, hogy a főideálokból álló \mathcal{R} halmazrendszer bármely nemüres részhalmazának létezik maximuma. Ez utóbbi azt jelenti, hogy akárhogyan is választunk ki akár végtelen sok főideált az \mathcal{R} halmazrendszerből, azok között mindig lesz maximális elem a 19.7. Definíció szerinti értelemben. Ezt röviden úgy fogjuk mondani, hogy az \mathcal{R} halmazrendszerre teljesül maximumfeltétel. Tegyük fel továbbá indirekt, hogy ennek ellenére léteznek olyan, a nullelemtől és egységektől különböző elemek, amelyek nem bonthatók fel felbonthatatlanok szorzatára. Minden ilyen elemhez készítsük el az általa generált főideált, és legyen \mathcal{H} az összes ilyen főideál halmaza, amely tehát az \mathcal{R} halmazrendszer egy részhalmaza. Mivel \mathcal{R}-re teljesül a maximumfeltétel, ezért \mathcal{H}-ban van maximális elem. Jelöljük ezt a főideált (m)-mel, amely tehát az m elemet és annak többszöröseit tartalmazza.

Az indirekt feltevésünk alapján ugye m-nek nem létezik prímtényezős felbontása. Emiatt az m elem maga nem lehet felbonthatatlan, máskülönben ő saját magának az egytényezős felbontása lenne a 16.15. Definíció értelmében. Mivel m nem felbonthatatlan, ezért a 16.11. Definíció alapján ő felírható m=a\cdot b alakban, méghozzá olymódon, hogy sem a, sem pedig b nem egység, és nem is asszociáltja m-nek. Teljesülnek tehát az a|m és a b|m oszthatóságok. Emiatt ha R egységelemes, akkor a 19.12. Tétel, ha pedig R nem egységelemes, akkor a 19.13. Tétel alapján teljesülnek az (m)\sub (a) és az (m)\sub (b) szigorú tartalmazási relációk.

Mivel az (m) főideálról azt mondtuk, hogy a \mathcal{H} halmazrendszer maximális eleme, így sem az (a), sem pedig a (b) főideálok nem lehetnek benne \mathcal{H}-ban. Ezért nekik már létezik prímtényezős felbontásuk:

\begin{aligned}a&=p_1p_2\ldots p_k \\ b&=q_1q_2\ldots q_n\end{aligned}

Ám ekkor m=ab miatt e tényezők szorzata valójában m-nek lenne egy prímtényezős felbontása, amiről ugye azt mondtuk, hogy nem létezik. A \mathcal{H} halmazrendszer tehát szükségképpen üres, azaz – indirekt feltevésünkkel ellentétben – mégiscsak minden elemnek létezik prímtényezős felbontása. Továbbá, mivel minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú, ezért a 16.17. Tétel értelmében egy ilyen prímtényezős felbontás – a tényezők sorrendjétől és asszociáltságtól eltekintve – szükségképpen egyértelmű.

A tételben szereplő feltételek tehát valóban elégségesek az alaptételhez. Most vizsgáljuk meg, hogy vajon tényleg szükségesek-e? Tételezzük fel tehát, hogy R-ben teljesül az alaptétel. Ebben az esetben egyrészt a 16.18. Tétel miatt R biztosan egységelemes. Másrészt a 16.16. Tétel miatt valóban minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú, így már csak a tételben szereplő 1. feltétel teljesülését kell ellenőrizni. Tegyük fel indirekt, hogy nem teljesül az 1. feltétel, azaz a főideálokból álló \mathcal{R} halmazrendszernek van olyan nemüres részhalmaza, amelyben nincs maximális elem. Ez a 19.7. Definíció, valamint a \sub reláció tranzitivitása (19.6. Tétel) miatt azt jelenti, hogy létezik olyan végtelen, főideálokból álló sorozat, amelyben minden főideál szigorúan tartalmazza a sorozatban előtte lévőt:

(a_1)\sub (a_2)\sub (a_3)\sub \ldots

Mivel R egységelemes, ezért a 19.12. Tétel miatt az a_1, a_2, a_3, \ldots elemek közül semelyik sem asszociáltja semelyik másiknak, továbbá teljesülnek az alábbi oszthatóságok:

\begin{aligned}a_2&|a_1 \\ a_3&|a_2 \\ a_4&|a_3 \\ &\vdots\end{aligned}

Ebből egyrészt következik, hogy legkésőbb a_2-től kezdve a sorozat egyik tagja sem lehet a nullelem. Máskülönben ugyanis az általa generált főideál csak a nullelemet tartalmazná, és így a 18.15. Tétel 3. pontja miatt nem létezhetne nála szűkebb főideál. Másrészt viszont a sorozat egyetlen tagja sem lehet egység, máskülönben ugyanis az általa generált főideál a teljes R gyűrű lenne – hiszen a 16.3. Definíció alapján egy egységnek minden gyűrűelem többszöröse –, és így nem létezhetne nála bővebb főideál.

Az a_2 tehát egy olyan elem, amely nem a nullelem és nem is egység, továbbá az oszthatóság tranzitivitása miatt végtelen sok olyan osztója van, amelyek közül egyik sem egység, és egyik sem asszociáltja a_2-nek. Így tehát a_2-nek nem létezik prímtényezős felbontása, ami viszont lehetetlen, hiszen azt mondtuk, hogy R-ben teljesül a számelmélet alaptétele. Csak az indirekt feltevésünk lehetett hibás, azaz a főideálokból álló \mathcal{R} halmazrendszernek valóban nem létezhet olyan nemüres részhalmaza, amelyben ne lenne maximális elem.