Tekintsük például az alábbi egész számokból álló végtelen sorozatot, amely tehát a definíció alapján egy \Z feletti harmadfokú polinom, hiszen a 4-es indexű tagjától kezdve csupa 0 számokból áll (ne feledjük, a számozás a nulladik indextől indul):

(1,3,0,1,0,0,0,\ldots)

Ez a polinom tulajdonképpen az 1+3x+0x^2+x^3 kifejezést reprezentálja, de ugyanúgy reprezentálja az x^3+3x+1 és az 1+x+2x^3+2x-x^3 kifejezéseket is, hiszen ezek csupán a tagok sorrendjében és az x hatványainak csoportosításában különböznek egymástól, lényegüket tekintve viszont mind ugyanannak a polinomnak a különböző megnyilvánulásai.

Amikor polinomokkal számolunk, sok esetben kézenfekvőbb a definícióhoz képest ebben a kevésbé szigorú formájukban gondolnunk rájuk. Azt, hogy intuitív módon a „szokásos szabályok” szerint lehet ezekkel a kifejezésekkel „számolni” az a kikötés biztosítja, hogy a polinom együtthatói valamilyen kommutatív gyűrűből kell származzanak, és hogy a definícióban lévő képletekben szereplő összeadások illetve szorzások alatt e gyűrű műveleteit kell érteni. Ettől függetlenül a kellő precizitás érdekében mi továbbra is a definícióban szereplő, végtelen sorozatokkal történő reprezentációt fogjuk használni.

Ezen túlmenően a végtelen sorozatokkal történő reprezentációnak praktikussági okai is vannak. Így ugyanis a polinomok összegének illetve szorzatának definiálásakor nem kell foglalkozni azzal, hogy a két összeadandó vagy összeszorzandó polinomnak mi a foka. A képletek ugyanis ettől függetlenül működnek, hiszen minden polinomot egységesen, egy végtelen, gyűrűelemekből álló sorozatként képzelhetünk el ilyenkor.

Nagyon fontos kikötés azonban, hogy nem minden végtelen sorozatot tekintünk polinomnak, hanem csak azokat, amelyek esetén véges sok tag után a sorozat minden további tagja a gyűrű nulleleme. Ez biztosítja azt, hogy nem léteznek végtelen fokú polinomok. Ezenkívül a fok tekintetében különbséget kell tennünk a nulladfokú polinomok és a nullapolinom között. A definíció szerint előbbieknek létezik foka (ami nevezetesen nulla), míg a utóbbinak nem. Ennek a megkülönböztetésnek fontos szerepe van bizonyos további tételekben is.

Végül tartsuk szem előtt, hogy a konstans polinomok jellegüket tekintve teljesen más matematikai objektumok, mint magának az R gyűrűnek az elemei, noha kifejezésként felírva őket ez nem látszik elsőre. Például a 3 jelölhet egy \Z[x]-beli konstans polinomot leíró kifejezést is, továbbá egy \Z-beli egész számot is. Előbbi esetben tulajdonképpen az alábbi végtelen sorozatról van szó, ami nagyon nem ugyanaz, mint maga a 3 egész szám:

(3,0,0,0,\ldots)

Ez azonban mégsem okoz zavart, ugyanis tetszőleges R kommutatív gyűrű beágyazható (lásd a 18.6. Definíciót) az R[x] halmazba. Az f:R\to R[x] beágyazófüggvényt tetszőleges r\in R gyűrűelem esetén az alábbi hozzárendelés valósítja meg:

r\xmapsto{f} (r,0_R,0_R,0_R,\ldots)

Ez nyilvánvalóan egyrészt egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés R elemei és a konstans polinomok között, másrészt tartja az R gyűrű összeadását és szorzását. Ilyen értelemben tehát R elemei azonosíthatók a nekik megfelelő konstans polinomokkal. Vagyis az R gyűrűt gyakorlatilag tekinthetjük az R[x] halmaz részének is, habár szigorúan matematikai értelemben nem erről van szó. Ez nagyon hasonló ahhoz, mint ahogy a természetes számok \N halmazát a rajta értelmezett két művelettel és a rendezési relációval együtt az egész számok \Z halmazába ágyaztuk be (lásd az erről szóló 13.13., 14.5. valamint 15.19. Tételeket).