- Az imént bevezetett \sube szimbólummal jelölt tartalmazási relációt ne keverjük össze a 19.1. Definícióban bevezetett \in relációval. Nagyon nem ugyanaz a két fogalom! Ha például A és B két halmaz, akkor A\sube B azt fejezi ki, hogy A összes eleme egyúttal B-nek is eleme. Ezzel szemben A\in B azt fejezi ki, hogy B egy olyan halmaz, amelynek elemei maguk is halmazok, és ezek közül az A halmaz az egyik. Az előző részben a 18.23. Tételben bevezetett maradékosztálygyűrűknek például az elemei maradékosztályok, amelyek ugye maguk is halmazok. Gyakran fogjuk ugyanakkor használni az „A tartalmazza B-t elemként” kifejezést. Ilyenkor értelemszerűen mindig a B\in A „eleme”-relációra, és nem pedig a B\sube A tartalmazási relációra gondolunk.
- Az üres halmaz részhalmaza tetszőleges A halmaznak, hiszen nyilván igaz az a kijelentés, hogy az üres halmaz minden eleme egyben A-nak is eleme. Az persze más kérdés, hogy ez a „minden eleme” jelen esetben 0 darab elemet jelent. Ezt a furcsa logikai jelenséget a 17.22. Tétel bizonyítása utáni megjegyzésben fejtettük ki részletesen.
- Minden A halmaz részhalmaza önmagának (azaz A\sube A), máskülönben létezne olyan a objektum, amelyre a\in A és a\notin A egyszerre teljesül, ami nyilvánvaló ellentmondás.
- Minden A halmaz részhalmaza továbbá az U univerzális halmaznak. Máskülönben létezne olyan a objektum, amelyre a\in A teljesül ugyan, azonban a\notin U. Ez nyilvánvaló ellentmondás, mivel a 19.1. Definíció alapján U-nak eleme minden objektum.
- Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő egymással, ha részhalmazai egymásnak. Ha ugyanis A=B, akkor a fenti 3. megjegyzés miatt A\sube B és B\sube A teljesül. Visszafelé: Egyrészt, ha A\sube B teljesül, akkor a\in A-ból következik a\in B. Másrészt ha B\sube A is teljesül, akkor a\in B-ből is következik a\in A. Ebben az esetben tehát a\in A akkor és csak akkor, ha a\in B, azaz a két halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, és így a 19.1. Definíció alapján egyenlőek egymással.
