Előszöris azt igazoljuk, hogy a maradékos osztás ezekkel a szigorúbb feltételekkel is elvégezhető, azaz mindenképpen létezik nemnegatív maradék is. Ezután fogjuk igazolni ennek egyértelműségét.

A 17.19. Tételből tudjuk, hogy az abszolútérték függvény egy euklidészi norma a \Z gyűrűn. Ez a 17.16. Definíció alapján azt jelenti, hogy tetszőleges a és b\neq 0 egész számhoz létezik olyan k_0 hányados és r_0 maradék, amelyekre teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}a&=k_0\cdot b + r_0 \\ |r_0|&\lt |b|\end{aligned}

Feladatunk megmutatni, hogy ezekből előállítható olyan k hányados és r maradék is, amelyek a tételben szereplő szigorúbb feltételeknek is eleget tesznek.

Amennyiben r_0\geq 0, akkor az abszolútérték-függvény 17.18. Definíciója miatt |r_0|=r_0. Ekkor az r=r_0 és a k=k_0 választás épp megfelel a feltételeknek.

Így elegendő csak azzal az esettel foglalkozni, amikor r_0\lt 0. Ekkor az abszolútérték-függvény definíciója miatt |r_0|=-r_0. Mivel r_0\lt 0, ezért a 15.9. Lemma 1. pontja miatt -r_0\gt 0. Ekkor az euklidészi normára vonatkozó |r_0|\lt|b| feltétel az alábbi két eset valamelyikével ekvivalens attól függően, hogy b pozitív vagy negatív:

1. Ha b pozitív, akkor 0\lt \overbrace{-r_0}^{=|r_0|}\lt \overbrace{b}^{=|b|}.
2. Ha b negatív, akkor 0\lt \underbrace{-r_0}_{=|r_0|}\lt \underbrace{-b}_{=|b|}.

A jobboldali egyenlőtlenségekhez r_0-t, a baloldali egyenlőtlenségekhez pedig az 1. esetben (r_0+b)-t, a 2. esetben pedig (r_0-b)-t adva az alábbiakat kapjuk:

1. Ha b pozitív, akkor 0\lt r_0+b\lt \overbrace{b}^{=|b|}.
2. Ha b negatív, akkor 0\lt r_0-b\lt \underbrace{-b}_{=|b|}.

Azaz ha meg tudnánk oldani, hogy az eredeti a=k_0b+r_0 egyenletből kiindulva olyan maradékos osztást végezzünk, amelynek eredményeképp az 1. esetben (r_0+b), a 2. esetben pedig (r_0-b) legyen a maradék, akkor ezek eleget tennének a tételben szereplő feltételeknek. Ezt viszont a 14.12. Definícióban szereplő 5. gyűrűaxióma szerinti disztributivitási szabályok kihasználásával és egy piszkos kis trükkel minden gond nélkül meg tudjuk tenni:

\begin{aligned}a&=k_0b+r_0=k_0b+r_0+b-b=(\overbrace{k_0-1}^{k})b + \overbrace{r_0+b}^{r}\\a&=k_0b+r_0=k_0b+r_0+b-b=(\underbrace{k_0+1}_{k})b + \underbrace{r_0-b}_{r}\end{aligned}

Így tehát pozitív b esetén a k=k_0-1 és r=r_0+b választással, míg negatív b esetén a k=k_0+1 és r=r_0-b választással az r maradék garantáltan pozitív lesz. Ezzel minden esetet lefedtünk, az egész számok körében tehát valóban mindig elvégezhető a maradékos osztás úgy, hogy a kapott maradék nemnegatív.

Azt kell még megmutatni, hogy ilyen feltételekkel viszont már csak egyféleképpen végezhető el. Tegyük fel, hogy kétféleképpen is elvégezhető a nemnegatív maradékos osztás. Ez azt jelenti, hogy léteznek olyan k_1 és k_2 hányadosok, valamint nemnegatív r_1 és r_2 maradékok, amelyekre teljesülnek az alábbiak:

\begin{aligned}&a=k_1\cdot b + r_1 \\ &a=k_2\cdot b + r_2\\ &0\leq r_1 \lt |b| \\ &0\leq r_2\lt |b|\end{aligned}

A két fenti egyenletet egymásból kivonva a következőt kapjuk:

0=(k_1-k_2)\cdot b + r_1 - r_2

Mindkét oldalból (k_1-k_2)\cdot b-t kivonva az alábbi lesz a szituáció:

r_1-r_2=(k_2-k_1)\cdot b

Ez viszont az oszthatóság 16.1. Definíciója alapján épp azt jelenti, hogy teljesül a b|r_1-r_2 oszthatóság. Mivel r_1 és r_2 is a b-vel való maradékos osztás során kapott nemnegatív maradékok, így ők biztosan szigorúan kisebbek b abszolútértékénél. Ebből viszont a 18.1. Lemma alapján r_1=r_2 következik, azaz a maradékok valóban megegyeznek.

Ekkor azonban a korábban kapott r_1-r_2=(k_2-k_1)\cdot b egyenlet az alábbi alakra egyszerűsödik:

\underbrace{0}_{=r_1-r_2}=(k_2-k_1)\cdot b

Mivel a tétel szövegében kikötöttük, hogy b\neq 0, ezért a nullosztómentesség miatt ez csak akkor teljesülhet, ha k_2-k_1=0, amiből k_1=k_2 következik. Így tehát a hányadosok is megegyeznek.

Azaz valóban: tetszőleges a és b\neq 0 egész számok között pontosan egyféleképpen lehet elvégezni a maradékos osztást úgy, hogy a kapott maradék nemnegatív.