Ha n négyzetmentes, akkor a 26.15. Definíció alapján nem osztható semmilyen egész szám négyzetével, így nyilván pozitív prímszámok négyzetével sem.

Megfordítva: Tegyük fel, hogy n nem négyzetmentes, azaz létezik olyan k egész szám, hogy k^2|n. Legyen p egy olyan prímszám, amely osztója k-nak. Ilyen biztosan létezik, hiszen 17.22. Tétel alapján \Z-ben teljesül a számelmélet alaptétele. Az általánosság megsértése nélkül feltételezhetjük, hogy p pozitív, hiszen ha negatív lenne, akkor az ő ellentettje lenne pozitív, ami a 16.2. Tétel 8. pontja alapján szintén osztója k-nak. A p|k oszthatóság a 16.1. Definíció alapján azt jelenti, hogy létezik olyan m egész szám, amelyre fennáll az alábbi:

k=p\cdot m

Ekkor a 18.8. Tétel 1. pontja alapján k^2 így írható fel:

k^2=p^2\cdot m^2

Ez azt jelenti, hogy teljesül a p^2|k^2 oszthatóság. Azonban azt mondtuk, hogy teljesül a k^2|n oszthatóság is, amiből a 16.2. Tétel 5. pontja alapján következik, hogy teljesül a p^2|n oszthatóság.