Algebrai számelmélet

Episode I: Alice és Bob
27. rész: Alice és Bob jövője
Posted on

Mik azok az elliptikus görbék, és mit állít róluk az egymillió dollárt érő Birch és Swinnerton-Dyer sejtés? Hogyan lehet az elliptikus görbékre újfajta titkosítási eljárásokat építeni? Mik azok a kvantumszámítógépek, és ha tényleg megvalósíthatók, akkor mire lesznek képesek a jövőben? Kell-e miattuk aggódnia Alice-nak és Bob-nak? Vajon a kriptográfusok, vagy a kiberbűnözők kerülnek ki győztesen ebből az emberiség egész történelmét végigkísérő kíméletlen háborúból?

Episode I: Alice és Bob
26. rész: Alice és Bob átlépi a célvonalat
Posted on

Mit nevezünk primitív gyöknek, és mi köze ennek a Diffie-Hellman kulcscsere protokollhoz? Milyen esetekben ciklikus egy maradékosztálygyűrű multiplikatív csoportja? Mit állít az úgynevezett Korselt-kritérium a Carmichael-számokról? Hogyan lehet igazolni, hogy a redukált maradékosztályoknak legalább a háromnegyede Miller-Rabin-tanú? Mi a következménye, ha az RSA kulcsok generálásához véletlenül prímek helyett Carmichael-számokat használunk?

Episode I: Alice és Bob
19. rész: Alice és Bob ideáljai
Posted on

Hogyan néznek ki az egész számok gyűrűjének ideáljai? Mi a kapcsolat az ideálok és az oszthatósági alapfogalmak között? Mik azok a főideálgyűrűk, és ezeknek milyen jó tulajdonságaik vannak? Mi közük az euklidészi gyűrűkhöz? Hogyan zárható le a számelmélet alaptételének kérdése végérvényesen az ideálok segítségével?

Episode I: Alice és Bob
18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest
Posted on

Hogyan lehet „felcsavarni” a számegyenest úgy, hogy az alkalmas legyen kriptográfiai kódoló és dekódoló függvények képzéséhez? Mit jelent a „kongruencia” fogalma, és hogyan lehet ezt általánosítani az úgynevezett „ideálok” és „gyűrűhomomorfizmusok” segítségével? Mik azok a „maradékosztálygyűrűk” és hogyan kell bennük számolni?

Episode I: Alice és Bob
17. rész: Alice és Bob ókori haverja
Posted on

Mi az oka annak, hogy minden egész szám egyértelműen felbontható prímszámok szorzatára? Mit jelent a „legnagyobb közös osztó”, és hogyan lehet az iskolában tanult módszernél sokkal gyorsabban kiszámolni az euklidészi algoritmus segítségével? Mik azok az euklidészi gyűrűk és mi közük a számelmélet alaptételéhez?

Episode I: Alice és Bob
16. rész: Alice és Bob alaptétele
Posted on

Mit kezdjünk azzal, hogy az „osztás” művelete általában nem végezhető el gyűrűkben? Mit jelent az „oszthatóság”? Mikor mondjuk egy gyűrű valamely elemére, hogy „felbonthatatlan” és mely elemeket nevezzük „prímeknek”? Miért van ezeknek kitüntetett szerepük bizonyos gyűrűkben? Mi a helyzet az egész számok gyűrűjében?