Elemi számelmélet

Episode I: Alice és Bob
26. rész: Alice és Bob átlépi a célvonalat
Posted on

Mit nevezünk primitív gyöknek, és mi köze ennek a Diffie-Hellman kulcscsere protokollhoz? Milyen esetekben ciklikus egy maradékosztálygyűrű multiplikatív csoportja? Mit állít az úgynevezett Korselt-kritérium a Carmichael-számokról? Hogyan lehet igazolni, hogy a redukált maradékosztályoknak legalább a háromnegyede Miller-Rabin-tanú? Mi a következménye, ha az RSA kulcsok generálásához véletlenül prímek helyett Carmichael-számokat használunk?

Episode I: Alice és Bob
23. rész: Alice és Bob prímszámok után nyomoz
Posted on

Hogyan képes Alice és Bob az RSA-kulcsgeneráláshoz szükséges többszázjegyű prímszámokat találni? Hogyan tudják ezt megtenni anélkül, hogy az idők végezetéig osztáspróbákat kellene végezniük? Mik azok a prímtesztek, és pontosan hogyan működnek? Mely számokat nevezzük univerzális álprímeknek, és hogyan tudunk megszabadulni tőlük?

Episode I: Alice és Bob
22. rész: Alice, Bob és a kínaiak
Posted on

Vajon varázslat helyett valójában mi áll az RSA-algoritmus helyes működésének hátterében? Mit állít a kis Fermat-tétel és a kínai maradéktétel, és mi közük van ehhez az egészhez? Mit értünk egy maradékosztálygyűrű dekompozíciója alatt? Hogyan lehet ennek segítségével lényegesen felgyorsítani az RSA-dekódolási algoritmust?

Episode I: Alice és Bob
21. rész: Alice és Bob titkosít
Posted on

Hogyan működik az Internet biztonságát adó RSA nevű aszimmetrikus kulcsú rejtjelező eljárás? Hogyan kell előállítani a publikus és titkos kulcsokat? Hogyan lehet az euklidészi algoritmust lineáris kongruenciák megoldásához is használni? Hogyan kell kiszámítani az Euler-függvény értékét egy adott számra, és milyen információra van ehhez szükség?

Episode I: Alice és Bob
20. rész: Alice, Bob, Euler és Fermat
Posted on

Mit jelent a kongruencia és a maradékosztálygyűrű fogalma az egész számok esetén? Mik azok a teljes és redukált maradékrendszerek, és milyen tulajdonságaik vannak? Mit mér az Euler-függvény? Mit nevezünk lineáris kongruenciának és mikor létezik megoldása? Mit állít az Euler-Fermat tétel és miért olyan fontos?

Episode I: Alice és Bob
14. rész: Alice és Bob gyűrűje
Posted on

Hogyan tudjuk a szorzás műveletét is ésszerű módon kiterjeszteni a számegyenes 0-tól balra eső részére? Mit jelent az absztrakt algebrában a „neutrális elem”, az „inverz”, a „gyűrű” és a „test” fogalma? Hogyan definiálható a kivonás művelete az egész számok között? Mi a helyzet az osztással?

Episode I: Alice és Bob
13. rész: Alice és Bob eladósodik
Posted on

Mi volt az az absztrakciós folyamat, amelyet őseink is követtek, amikor elkezdtek a „semminél kevesebb” mennyiségekről elmélkedni? Mit lehet az ilyen mennyiségekkel modellezni? Tulajdonképpen mik azok a negatív számok? Hogyan köthető egy ilyen látszólag értelmetlen fogalom a valósághoz?

Episode I: Alice és Bob
12. rész: Alice és Bob rendet tesz
Posted on

Milyen alaptulajdonságai vannak a szorzás műveletének és mi az oka, hogy ezek valóban teljesülnek? Mik azok a relációk és mit értünk rendezett halmaz alatt? Mi köze ennek a „kő-papír-olló” nevű játékhoz? Hogyan vezetjük be a „kisebb-nagyobb” fogalmát a természetes számok között?

Episode I: Alice és Bob
11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
Posted on

Hogyan építhető fel egy matematikai elmélet gyakorlatilag a semmiből? Mit nevezünk axiómáknak, amelyek egy ilyen elmélet kiindulópontjai? Mi az a 4 axióma, amelyből következik minden, amit az egész számokról tudunk – és az is, amit még nem tudunk? Hogyan lesz egy állításból tétel?