Legyen adott egy halmaz egy rajta értelmezett művelettel. Létezzen továbbá neutrális elem erre a műveletre nézve, amelyet jelöljünk -nel. Ha egy adott elemhez létezik olyan -gyel jelölt elem, amelyre , akkor -et a elem jobboldali …
A halmazon az alábbi képlet szerint értelmezett -szal jelölt kétváltozós műveletet kivonásnak nevezzük: Vagy a hagyományos jelölésekkel: Ez tehát azt jelenti, hogy egy egész számból egy egész számot úgy vonunk ki, hogy hozzáadjuk az ellentettjét.
A halmazon az alábbi képlet szerint értelmezett -tal jelölt kétváltozós műveletet szorzásnak nevezzük: A fentiekben a szerinti Peano-összeadást, az egymás után írás a szerinti Peano-szorzást, pedig a halmaznak azon elemét jelöli, amelynek – mint ekvivalencia-osztálynak …
Tegyük fel, hogy és két valamilyen – műveletekkel és/vagy relációkkal ellátott – algebrai struktúra alaphalmaza. Egy közöttük lévő struktúratartó leképezést (függvényt) homomorfizmusnak nevezünk. Amennyiben minden eleme legalább egy -beli elemhez hozzá van rendelve, akkor -et …
A halmazon az alábbi képlet szerint értelmezett -szal jelölt kétváltozós műveletet összeadásnak nevezzük: A fentiekben a szerinti Peano-összeadást, pedig a halmaznak azon elemét jelöli, amelynek – mint ekvivalencia-osztálynak – eleme az természetes számpár.
Az halmaz elemei között vezessünk be egy szimbólummal jelölt relációt. Tetszőleges és számpárok esetén akkor és csak akkor, ha az alábbi két feltétel közül legalább az egyik teljesül: Létezik olyan természetes szám, hogy és . …
Tegyük fel, hogy egy természetes szám, és . Ekkor a halmaz alakban felírható elemeit pozitív egész számoknak nevezzük, és így jelöljük: vagy . A halmaz alakban felírható elemeit negatív egész számoknak nevezzük és így jelöljük: …
Az halmazon értelmezett szerinti reláció ekvivalencia-osztályainak halmazát az egész számok halmazának nevezzük, és -vel jelöljük. Ha az természetes számpár az egy tetszőleges eleme, akkor -vel jelöljük az természetes számpár által reprezentált egész számot.
Tegyük fel, hogy adott egy halmaz, és egy rajta értelmezett reláció. Amennyiben egyszerre reflexív, szimmetrikus és tranzitív, úgy -et a halmaz feletti ekvivalenciarelációnak hívjuk.
Legyen adott egy halmaz és egy ezen a halmazon értelmezett reláció, valamint tegyük fel, hogy és a halmaz tetszőleges elemei. Ha minden ilyen esetben teljesülése esetén is teljesül, akkor azt mondjuk, hogy az reláció szimmetrikus.
Amennyiben az halmaz tetszőleges és elemeihez létezik olyan szintén -beli elem, amelyre teljesül, hogy , akkor azt mondjuk, hogy . Kiolvasva: „ legfeljebb ” vagy „ legalább ”. Ha ezen kívül is teljesül – azaz …
Tegyük fel, hogy adott egy halmaz, és egy rajta értelmezett reláció. Amennyiben egyszerre reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív, úgy -et feletti részbenrendezésnek hívjuk, vagy pedig azt mondjuk, hogy a egy részbenrendezett halmaz az relációval. Az relációt …
Legyen adott egy halmaz és egy ezen a halmazon értelmezett reláció, valamint tegyük fel, hogy és a halmaz tetszőleges elemei. Ha minden ilyen esetben és közül legalább az egyik teljesül, akkor azt mondjuk, hogy az …
Legyen adott egy halmaz és egy ezen a halmazon értelmezett reláció, valamint tegyük fel, hogy , és a halmaz tetszőleges elemei. Ha minden ilyen esetben és együttes teljesülése esetén is teljesül, akkor azt mondjuk, hogy …
Legyen adott egy halmaz és egy ezen a halmazon értelmezett reláció, valamint tegyük fel, hogy és a halmaz tetszőleges, de egymástól különböző elemei – azaz . Ha minden ilyen esetben és közül legfeljebb az egyik …
Ha egy tetszőleges halmaz, akkor a halmaz egy valamilyen részhalmazát kétváltozós relációnak nevezzük. Ha és a halmaz két tetszőleges – nem feltétlenül különböző – eleme, és az rendezett pár benne van az halmazban, akkor azt …
Az halmazon értelmezett, -tal jelölt kétváltozós műveletet szorzásnak nevezzük, amennyiben teljesülnek rá a következő tulajdonságok: Tetszőleges számra teljesül, hogy . Amennyiben valamely és számokra az eredménye már ismert, úgy teljesül, hogy . A fentiekben jelöli …
Az halmazon értelmezett, -szal jelölt kétváltozós műveletet összeadásnak nevezzük, amennyiben teljesülnek rá a következő tulajdonságok: Tetszőleges számra teljesül, hogy . Amennyiben valamely és számokra az eredménye már ismert, úgy teljesül, hogy . A fentiekben jelöli …
Egy valamilyen halmazon értelmezett kétváltozós művelet egy olyan függvény, amely -beli elemekből alkotott párokhoz szintén a halmaz elemeit rendeli hozzá.
