Legyen tetszőleges nemnulla egész szám. Jelölje azt a halmazt, amelynek elemei az abszolútértékénél kisebb, nemnegatív (azaz a , , , …, ) egész számok. E halmaz elemeit modulo m maradékoknak nevezzük. Azt a függvényt, amely …
Legyen tetszőleges integritástartomány, melyben létezik egységelem. Tegyük fel, hogy elemein értelmezve van egy olyan függvény, amely eleget tesz az alábbi követelményeknek: Tetszőleges elem esetén akkor és csak akkor teljesül, ha , ahol az gyűrű nullelemét, …
Legyen tetszőleges integritástartomány. Amennyiben valamely és elemeknek minden közös osztója egység, akkor azt mondjuk, hogy és relatív prímek egymáshoz.
Tegyük fel, hogy és tetszőleges egész számok a gyűrűben. Az és legnagyobb közös osztója a egész szám, ha teljesül az alábbi két tulajdonság: Fennállnak a és oszthatóságok. Tetszőleges egész szám esetén ha fennállnak a és …
Tegyük fel, hogy és egy valamilyen integritástartomány tetszőleges elemei. Az és elemek kitüntetett közös osztója a elem, ha teljesül az alábbi két tulajdonság: Fennállnak a és oszthatóságok. Tetszőleges elem esetén ha fennállnak a és oszthatóságok, …
Egy kommutatív gyűrű valamely elemét prímtulajdonságú elemnek (vagy egyszerűen csak prímnek) nevezzük, ha nem a nullelem, nem egység, és csak úgy lehet osztója két gyűrűelem szorzatának, ha legalább az egyik tényezőnek osztója. Azaz ha valamely …
Legyen egy tetszőleges integritástartomány. Azt mondjuk, hogy -ben érvényes a számelmélet alaptétele, ha minden nemnulla és nem egység eleme egyértelműen felbontható felbonthatatlan elemeinek szorzatára. Egy felbonthatatlan elem „felbontása” alatt önmagát, mint „egytényezős szorzatot” értjük. A …
Legyen egy tetszőleges kommutatív gyűrű. Ha valamely , és elemekre teljesül, akkor a szorzatot az elem felbontásának nevezzük. Azokat a felbontásokat, amelyekben és közül az egyik egység, a másik pedig asszociáltja, triviális felbontásoknak nevezzük. Ha …
Egy kommutatív gyűrű valamely és elemeire akkor mondjuk, hogy egymás asszociáltjai, ha pontosan ugyanazok a többszöröseik és az osztóik is. Pontosabban fogalmazva, ha tetszőleges gyűrűelem esetén akkor és csak akkor teljesül, amikor is teljesül, valamint …
Tegyük fel, hogy egy kommutatív gyűrű, valamint és a gyűrű két eleme. Amennyiben létezik olyan gyűrűelem, hogy , akkor azt mondjuk, hogy osztója -nek az gyűrűben. Ezzel egyenértékű megfogalmazások: osztható -val vagy többszöröse -nak. Az …
Legyen egy tetszőleges kommutatív gyűrű. Ha egy adott gyűrűelem esetén minden gyűrűelemre teljesül az oszthatósági reláció, akkor az elemet egységnek nevezzük.
Amennyiben tetszőleges és egész számokhoz létezik olyan természetes szám, amelyre teljesül, hogy , akkor azt mondjuk, hogy . Kiolvasva: „ legfeljebb ” vagy „ legalább ”. Ha ezen kívül is teljesül – azaz nem azonos …
Tegyük fel, hogy egy részbenrendezhető gyűrű, és legyen egy olyan részbenrendezés a gyűrű alaphalmazán, amely teljesíti a szerinti rendezési axiómákat. Ekkor azoknak az gyűrűelemeknek a halmazát, amelyekre teljesül az reláció, a gyűrű pozitivitástartományának nevezzük a …
Legyen egy tetszőleges gyűrű, valamint a gyűrű alaphalmazán legyen értelmezve egy részbenrendezési reláció, amelyet jelöljünk most a szimbólummal. Tegyük fel, hogy tetszőleges , és gyűrűelemek esetén teljesülnek az alábbi követelmények – az úgynevezett rendezési axiómák: …
Legyen egy tetszőleges halmaz, amelyen értelmezve van egyrészt egy -gal jelölt kétváltozós művelet, másrészt pedig egy valamilyen -val jelölt kétváltozós reláció. Amennyiben tetszőleges , és elemeire az reláció teljesülése esetén az reláció is teljesül, akkor …
A nullosztómentes és kommutatív gyűrűket integritástartományoknak nevezzük. Megjegyezzük, hogy ez a definíció nem követeli meg egységelem – azaz a szorzásra nézve neutrális elem – létezését. Sajnos a magyar terminológiában sincs külön neve az egységelemmel is …
Legyen tetszőleges gyűrű a szokásos jelölésekkel, valamint legyen és a gyűrű két tetszőleges eleme. Ha , de sem , sem pedig , akkor azt mondjuk, hogy baloldali nullosztó, pedig jobboldali nullosztó. Másként fogalmazva egy elemet …
Tegyük fel, hogy adva van egy valamilyen halmaz, amelyen értelmezve van két darab kétváltozós művelet. Az egyiket nevezzük összeadásnak és jelöljük -szal. A másikat nevezzük szorzásnak és jelöljük -tal. Az így kapott algebrai struktúrát gyűrűnek …
Legyen adott egy halmaz és egy ezen értelmezett -gal jelölt kétváltozós művelet, valamint legyen az halmaz egy eleme. Az elemet jobboldali neutrális elemnek nevezzük a műveletre nézve, amennyiben tetszőleges -beli elemre teljesül az alábbi: Az …
