Legyen egy tetszőleges gyűrű egy szimbólummal jelölt összeadással és egy szimbólummal vagy egymás után írással jelölt szorzással. Legyenek továbbá és valamilyen -en értelmezett és -be képező függvények. Ekkor az -vel illetve -vel jelölt függvények alatt …
Legyen egy tetszőleges kommutatív gyűrű, egy tetszőleges feletti polinom, pedig az polinomhoz tartozó polinomfüggvény. Jelöljük továbbá az gyűrű nullelemét -rel. Ekkor az polinom gyökeinek nevezzük azokat az gyűrűelemeket, amelyekhez az polinomfüggvény az gyűrű nullelemét rendeli …
Legyen egy tetszőleges kommutatív gyűrű, pedig egy tetszőleges feletti polinom. Tegyük fel, hogy vagy a nullapolinom, vagy pedig a foka legfeljebb , azaz reprezentálható az alábbi végtelen sorozattal, ahol jelöli az gyűrű nullelemét: Ekkor az …
Legyen tetszőleges kommutatív gyűrű (lásd a t). Legyen továbbá egy végtelen sorozat, amelynek tagjai az gyűrű elemei: Amennyiben az sorozatnak csak véges sok tagja nem az gyűrű nulleleme, akkor -et az gyűrű feletti polinomnak, az …
Legyen valamilyen pozitív egész szám. Amennyiben a gyűrű multiplikatív csoportja – azaz a csoport – ciklikus, akkor azt mondjuk, hogy létezik primitív gyök modulo . Legyen egy modulo redukált maradékosztály, azaz a multiplikatív csoport egy …
Legyen tetszőleges csoport, pedig valamilyen részcsoport -ben. Amennyiben -ben létezik olyan elem, hogy az egyelemű halmaz generálja -t – azaz –, akkor azt mondjuk, hogy ciklikus részcsoport -ben, amelynek generátoreleme (vagy primitív eleme) . Amennyiben …
Legyen adva egy csoport, valamint egy részcsoport -ben. Tegyük fel továbbá, hogy az részcsoport szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek, azaz minden esetén teljesül az alábbi: Ekkor azt mondjuk, hogy az részcsoport normálosztó -ben. Ezt …
Legyenek és tetszőleges halmazok, továbbá tegyük fel, hogy értelmezve van egy függvény, amely tehát az halmaz minden eleméhez hozzárendel egy elemet a halmazból. Legyen adott egy halmaz. Ekkor -nek azt a – szerinti értelemben vett …
Legyenek és tetszőleges csoportok, valamint legyen adva közöttük egy csoporthomomorfizmus. Ekkor az csoporthomomorfizmus magjának nevezzük azon -beli elemek halmazát, melyeknek szerinti képe a csoport egységeleme. Az magját – az angol „kernel” szóból eredeztetve – így …
Tegyük fel, hogy adva van egy és egy csoport. Ekkor egy függvényt csoporthomomorfizmusnak nevezünk, amennyiben tetszőleges -beli és elemekre teljesül az alábbi művelettartó tulajdonság: Amennyiben minden eleme legalább egy -beli elemhez hozzá van rendelve, akkor …
Legyen tetszőleges csoport, pedig ennek valamely eleme. Ekkor egymástól különböző hatványainak a számát rendjének nevezzük, és az angol „order” kifejezésre utalva -vel jelöljük. Ha -nek végtelen sok különböző hatványa létezik a csoportban, akkor azt mondjuk, …
Egy csoport rendje alatt a benne lévő elemek számát értjük. Pontosabban fogalmazva ha csak véges sok elemet tartalmaz, és elemeinek száma , akkor azt mondjuk, hogy véges, és rendje . Ezt így jelöljük: . Ezzel …
A -ban szereplő gyűrűaxiómák a ban ismertetett félcsoport és csoport fogalmának segítségével átfogalmazhatók. Eszerint tegyük fel, hogy adva van egy halmaz, amelyen értelmezve van egy -szal és egy -tal jelölt kétváltozós művelet. Az algebrai struktúrát …
Legyen egy tetszőleges nemnulla egész szám, pedig valamilyen pozitív prímszám. Azt mondjuk, hogy az egész szám -adikus rendje (ennek jele: ), amennyiben igazak az alábbiak: A egész szám -adikus rendjét végtelennek definiáljuk, azaz .
Ha egy csoport valamely részhalmaza maga is csoport a műveletére nézve, akkor azt mondjuk, hogy részcsoport -ben. Ezt így jelöljük: . Ha részcsoport -ben, de , akkor azt mondjuk, hogy valódi részcsoport -ben. Ezt így …
Legyen tetszőleges halmaz, amelyen értelmezve van egy -gal jelölt asszociatív művelet. Ha a halmaz valamely eleme, pedig tetszőleges pozitív egész, akkor az hatványon az alábbi kifejezést értjük: Tegyük fel, hogy a műveletre nézve létezik neutrális …
Tegyük fel, hogy adva van egy valamilyen halmaz, amelyen értelmezve van egy kétváltozós művelet. Nevezzük ezt a műveletet szorzásnak és jelöljük -tal, vagy egymás után írással. Például egy és egy elem szorzatát jelöljük -vel vagy …
Legyen egy tetszőleges páratlan szám, pedig tetszőleges egész szám, amely nem többszöröse -nek, azaz . Képezzük azt az kitevőt és páratlan számot, amelyekre teljesül az alábbi: Tegyük fel továbbá, hogy az alábbi kongruenciák egyike sem …
Legyen tetszőleges pozitív, továbbá egy -hez relatív prím egész szám, és tegyük fel, hogy összetett. Amennyiben az redukált maradékosztály NEM Fermat-tanú, akkor azt mondjuk, hogy álprím az alapra nézve. Amennyiben a modulo redukált maradékosztályok között …
