Legyen egy tetszőleges pozitív, pedig tetszőleges egész szám, amely nem többszöröse -nek, azaz . Tegyük fel továbbá, hogy nem teljesül a kis Fermat-tételben () szereplő kongruencia, azaz: Ekkor az egész szám által reprezentált maradékosztályt az …
Legyenek és tetszőleges halmazok. Ekkor az és halmazok direkt szorzatának (vagy Descartes-szorzatának) nevezzük azt a halmazt, amely az összes olyan rendezett párt tartalmazza, amelynek első komponense valamilyen -beli, második komponense pedig valamilyen -beli elem. Ezt …
Legyen egy tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor a -vel jelölt modulo maradékosztálygyűrű (lásd a t) invertálható elemeit modulo redukált maradékosztályoknak nevezzük.
Legyen tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor a modulo redukált maradékosztályok számát a -mel jelölt függvény értéke adja meg. Ezt a függvényt Euler-féle -függvénynek (ejtsd: „fi”) nevezzük.
Legyen és tetszőleges, pedig valamilyen pozitív egész szám. Ekkor az alábbi kongruenciaegyenletet lineáris kongruenciának nevezzük: Egy lineáris kongruencia egy megoldásán egy olyan modulo maradékosztályt értünk, amelynek tetszőleges elemét helyére behelyettesítve a kongruencia teljesül. Egy lineáris …
Legyen egy pozitív egész szám. Ha minden modulo maradékosztályból pontosan egy elemet kiveszünk, akkor az így kapott számhalmazt modulo teljes maradékrendszernek nevezzük. Ehhez hasonlóan ha minden modulo redukált maradékosztályból pontosan egy elemet kiveszünk, akkor az …
Legyen tetszőleges integritástartomány, melyben létezik egységelem. Amennyiben minden ideálja főideál (azaz generálható egyetlen elemmel), akkor -t főideálgyűrűnek nevezzük.
Legyen tetszőleges gyűrű, pedig valamilyen ideál -ben. Amennyiben -nek létezik olyan véges számú elemet tartalmazó részhalmaza, amely esetén , akkor azt mondjuk, hogy az ideál végesen generált. Ezt így jelöljük: . Speciálisan ha generálható az …
Legyen egy tetszőleges halmaz, pedig egy tetszőleges halmazrendszer felett. A halmazrendszer egy elemét -ban minimális elemnek nevezzük, ha nem létezik olyan elem a halmazrendszerben, amelyre teljesülne, és -ban legszűkebb (vagy legkisebb) elemnek nevezzük, ha a …
Legyen egy tetszőleges halmaz, valamint jelöljük -val azt a halmazt, amelynek elemei -nak bizonyos részhalmazai – de nem feltétlenül az összes. Ekkor a halmazt egy feletti halmazrendszernek, magát a halmazt pedig e halmazrendszer alaphalmazának nevezzük. …
A halmazelmélet mindössze két alapfogalmat használ. Ezek: a „halmaz” és az „eleme lenni” reláció. A halmazokat konvencionálisan nyomtatott nagybetűkkel jelöljük. Például: . Azt, hogy egy vizsgált objektum eleme az halmaznak, így jelöljük: . Azt, hogy …
Legyen és két tetszőleges halmaz. Ekkor az és halmazok uniójának (vagy egyesítésének) nevezett halmaznak azok az objektumok az elemei, amelyek elemei az és közül legalább az egyiknek. Ezt a halmazt -vel jelöljök. Az és halmazok …
Legyenek és valamilyen halmazok. Tegyük fel továbbá, hogy minden olyan esetben, amikor teljesül, egyúttal teljesül is. Ekkor azt mondjuk, hogy az halmaz részhalmaza a halmaznak, vagy más szavakkal a halmaz tartalmazza az halmazt. Ezt így …
Legyenek és tetszőleges gyűrűk, valamint legyen adva közöttük egy gyűrűhomomorfizmus. Ekkor az gyűrűhomomorfizmus magjának nevezzük azon -beli elemek halmazát, melyeknek szerinti képe az gyűrű nulleleme. Az magját – az angol „kernel” szóból eredeztetve – így …
Tegyük fel, hogy adva van egy és egy gyűrű. Ekkor egy függvényt gyűrűhomomorfizmusnak nevezünk, amennyiben tetszőleges -beli és elemekre teljesülnek az alábbi követelmények: Amennyiben minden eleme legalább egy -beli elemhez hozzá van rendelve, akkor -et …
Legyen tetszőleges gyűrű és legyen valamilyen ideál -ben. Amennyiben az gyűrű valamilyen és elemeire teljesül, hogy az különbség az ideálnak eleme, akkor azt mondjuk, hogy és kongruensek az ideál szerint (vagy kongruensek modulo ). Ezt …
Tegyük fel, hogy és tetszőleges gyűrűk, valamint adva van közöttük egy gyűrűhomomorfizmus. Amennyiben az gyűrű valamilyen és elemeire teljesül, hogy , akkor azt mondjuk, hogy és kongruensek az gyűrűhomomorfizmus szerint. Ezt a relációt így jelöljük: …
Tegyük fel, hogy egy tetszőleges részhalmaza egy valamilyen halmaznak, valamint legyen egy tetszőleges -beli elem. Amennyiben a halmazon értelmezve van egy -tal vagy egymás után írással jelölt, szorzásnak nevezett művelet, akkor -val vagy -val jelöljük …
Legyen adva egy gyűrű, valamint annak egy részhalmaza, amely részgyűrű -ben. Tegyük fel továbbá, hogy az gyűrű egy tetszőleges – tehát nem feltétlenül -beli – eleme. Amennyiben az részgyűrű tetszőleges eleme esetén az szorzat is …
Ha egy gyűrű valamely részhalmaza maga is gyűrű az műveleteire nézve, akkor azt mondjuk, hogy részgyűrű -ben. Ezt így jelöljük: . A nullgyűrű és maga a teljes nyilvánvalóan részgyűrűk -ben. Ezeket triviális részgyűrűknek nevezzük. Azt, …
