A additív csoport továbbá tetszőleges esetén a additív csoportok ciklikus csoportok. Előbbi generátoreleme az egész szám, utóbbi generátoreleme pedig az maradékosztály.
Egy csoport valamely részcsoportja akkor és csak akkor normálosztó, ha minden és esetén a szorzat benne van -ben. Az állítás a szorzatra is ugyanígy kimondható.
Tegyük fel, hogy egy csoport valamely részhalmaza egy -ből kiinduló csoporthomomorfizmus magja. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Az halmaz egy részcsoport -ben. Tetszőleges és elemek esetén akkor és csak akkor, ha és ugyanabban az részcsoport szerinti …
Legyen egy tetszőleges csoport, továbbá a csoportnak egy tetszőleges részhalmaza. Jelöljük -szel azt a fölötti halmazrendszert, amelynek elemei pontosan azok a részcsoportok -ben, amelyek tartalmazzák -et. Ekkor -ben létezik pontosan egy legszűkebb elem, amelyet az …
Legyen egy tetszőleges csoport, valamint legyen egy olyan feletti halmazrendszer, amely valahány – akár végtelen számú – részcsoportját tartalmazza elemként. Ekkor a -ban lévő halmazok metszete is részcsoport -ben. Ehhez hasonlóan ha egy olyan halmazrendszer, …
Legyenek , , …, tetszőleges csoportok, és értelmezzünk egy műveletet a halmaz tetszőleges és elemei között az alábbi módon: Azaz a műveletet úgy kell elvégezni, hogy az azonos pozícióban lévő komponensek szorzatait képezzük a megfelelő …
Legyenek és tetszőleges csoportok, pedig egy szürjektív csoporthomomorfizmus e két csoport között, és vezessük be az jelölést. Ekkor teljesülnek az alábbiak: A részcsoportjai kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésben állnak azon részcsoportjaival, amelyek -et teljes egészében tartalmazzák. Egy …
Legyenek és tetszőleges csoportok, pedig egy csoporthomomorfizmus e két csoport között. Ekkor tetszőleges esetén és – amennyiben persze létezik az teljes inverz kép (lásd a utáni megjegyzést). Szavakkal: minden részcsoportjának szerinti teljes inverz képe – …
Legyenek és tetszőleges csoportok, pedig egy csoporthomomorfizmus e két csoport között. Ekkor tetszőleges esetén , azaz minden részcsoportjának szerinti képe részcsoport -ban.
Legyenek és tetszőleges csoportok, valamint tegyük fel, hogy adva van egy csoporthomomorfizmus. Ekkor , azaz a -ből képzett magja szerinti faktorcsoport izomorf képével.
Legyen adva egy csoport és annak egy részhalmaza. Az részhalmaz akkor és csak akkor magja egy valamilyen -ből kiinduló csoporthomomorfizmusnak, ha normálosztó -ben.
Legyen egy tetszőleges csoport, és tegyük fel, hogy normálosztó -ben. Jelöljük -nel azt a halmazt, amelynek elemei a ben definiált szerinti baloldali mellékosztályok. Vezessük be ezek között az alábbi műveletet: Ha és két baloldali mellékosztály, …
Legyen tetszőleges csoport, pedig normálosztó -ben. Tegyük fel továbbá, hogy a csoport valamilyen és valamint és elemeire teljesülnek az alábbiak: Az elem ugyanabban az szerinti baloldali mellékosztályban van, mint az elem. A elem ugyanabban az …
Legyen adva egy és egy csoport, valamint egy közöttük lévő csoporthomomorfizmus. Ekkor igazak az alábbiak: Ha rendre és jelöli a és csoportok egységelemét, akkor . Ha a kitevő az inverzképzést jelöli a megfelelő csoportban, akkor …
Legyen tetszőleges pozitív, pedig egy tetszőleges egész szám. Tegyük fel, hogy létezik olyan pozitív kitevő, amelyre teljesül az alábbi kongruencia: Ekkor relatív prím -hez.
Legyen egy tetszőleges, -nél nagyobb páratlan szám, amely valamilyen prímhatvány. Azaz , ahol valamilyen pozitív, páratlan prímszám, pedig tetszőleges pozitív kitevő. Jelöljük -nel azon modulo maradékosztályok halmazát, amelyek NEM Miller-Rabin-tanúi -nek. Ekkor igazak az alábbiak: …
Legyen egy tetszőleges -nél nagyobb páratlan szám, amelynek legalább két egymástól különböző prímtényezője is van, azaz nem prímhatvány. Képezzük azt az kitevőt és páratlan számot, amelyekre teljesül az alábbi: Ekkor létezik legalább egy olyan kitevő …
