Legyen tetszőleges véges csoport, pedig ennek egy tetszőleges nemüres részhalmaza. A halmaz akkor és csak akkor részcsoport -ben, ha zárt a csoport műveletére nézve.
Legyen tetszőleges csoport, ennek valamely eleme, pedig az egységelem. Ha rendje véges, akkor tetszőleges és egész számok esetén igazak az alábbiak: akkor és csak akkor teljesül, ha fennáll az oszthatóság, ami a 3. pontja alapján …
Legyen tetszőleges véges csoport, pedig tetszőleges részcsoport -ben. Ekkor a részcsoport rendje osztója rendjének, azaz teljesül az alábbi oszthatóság: Azaz létezik olyan egész szám, amellyel rendjét megszorozva épp rendjét kapjuk. Ez az egész szám a …
Legyen tetszőleges csoport, pedig valamilyen részcsoport -ben. Definiáljunk egy szimbólummal jelölt relációt a csoport elemei között a következőképpen: akkor és csak akkor, ha . Ekkor a reláció egy ekvivalenciareláció a csoport elemei között. Az ehhez …
Legyen egy pozitív prímszám, pedig egy tetszőleges egész szám, amely -vel osztva -et ad maradékul, azaz amelyre teljesül az alábbi kongruencia: Ekkor tetszőleges egész kitevő esetén teljesül az alábbi kongruencia is:
Egy tetszőleges csoport valamely részhalmaza akkor és csak akkor részcsoport -ben, ha teljesülnek az alábbi feltételek: zárt a csoport műveletére. tartalmazza a csoport egységelemét. zárt a -beli inverzképzésre.
Legyen egy tetszőleges halmaz, amelyen értelmezve van egy -gal jelölt asszociatív művelet, és tegyük fel, hogy létezik -ban neutrális elem () erre a műveletre nézve. Legyenek továbbá és a halmaz két olyan eleme, amelyek invertálhatók …
Legyen tetszőleges halmaz, amelyen értelmezve van egy szimbólummal vagy egymás után írással jelölt asszociatív művelet. Tegyük fel továbbá, hogy e műveletre nézve létezik neutrális elem, és legyenek és a két invertálható eleme. Ekkor tetszőleges – …
Semmilyen -nél nagyobb páratlan prímszámnak nincs Miller-Rabin-tanúja. Másként fogalmazva ha egy -nél nagyobb páratlan számnak van Miller-Rabin-tanúja, akkor összetett.
Legyen tetszőleges pozitív egész szám. Tegyük fel, hogy adva van egy valamilyen egész szám által reprezentált redukált maradékosztály, amely Fermat-tanú. Legyen adott továbbá egy valamilyen egész szám által reprezentált redukált maradékosztály, amely nem Fermat-tanú. Ekkor …
Legyen egy tetszőleges pozitív egész szám. Amennyiben -nek létezik Fermat-tanúja a redukált maradékosztályok között, akkor a modulo redukált maradékosztályoknak legalább a fele Fermat-tanú.
Ha bármely két egymástól különböző és maradékosztályt megszorzunk egy tetszőleges redukált maradékosztállyal, akkor az így kapott maradékosztályok is különböznek egymástól. Azaz ha , akkor .
Legyen egy tetszőleges nemnulla egész szám, amely nem egység, valamint jelöljük -rel a lehető legnagyobb olyan egész számot, amelyre teljesül. Ebben az esetben az egész szám akkor és csak akkor prím (azaz felbonthatatlan), ha nem …
Legyen egy tetszőleges nemnulla egész szám, amely nem egység. Ebben az esetben akkor és csak akkor prím (azaz felbonthatatlan), ha nem létezik -nél nagyobb, de -nél kisebb osztója. Ezzel ekvivalens megfogalmazás: Az akkor és csak …
Legyen tetszőleges, pedig valamilyen pozitív egész szám. Ekkor tetszőleges prímszám esetén az egész akkor és csak akkor relatív prím a hatványhoz, ha nem osztható -vel, azaz NEM teljesül a oszthatóság.
Tegyük fel, hogy teljesülnek az alábbi feltételek: Legyen adott két tetszőleges, egymástól különböző pozitív prímszám: és . Képezzük ezekből az modulust. Képezzük az Euler-féle -függvény értékét az modulusra, azaz kiszámítjuk a egész számot (erre vonatkozóan …
Legyen egy tetszőleges pozitív egész szám, pedig egy tetszőleges pozitív prímszám. Tegyük fel továbbá, hogy egy olyan egész szám, amelyre teljesül az alábbi kongruencia: Ekkor minden egész szám esetén teljesül az alábbi kongruencia is:
Legyenek és valamilyen pozitív egész számok, továbbá tegyük fel, hogy és egymáshoz relatív prímek. Ekkor a szerint értelmezett gyűrű izomorf a maradékosztálygyűrűvel (lásd a t). Azaz: Legyenek , és tetszőleges egész számok, továbbá tegyük fel, …
