Legyen tetszőleges pozitív, pedig egy -hez relatív prím egész szám. Ekkor teljesül az alábbi kongruencia: Itt az kifejezés alatt egy olyan tényezős szorzatot értünk, amelynek minden tényezője .
Legyen tetszőleges integritástartomány, amelyben létezik egységelem. Legyenek továbbá , és az tetszőleges elemei. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Ha kitüntetett közös osztója -nak és -nek, akkor . Az halmazegyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha kitüntetett …
Legyen egy tetszőleges egységelemes gyűrű, továbbá legyenek , , …, az gyűrű tetszőleges elemei. Ekkor az ezen elemek által generált balideál minden eleme felírható alakban az gyűrű alkalmasan választott , , …, elemeinek segítségével. Visszafelé: …
Legyen tetszőleges integritástartomány, amelyben létezik egységelem. Legyenek továbbá , és az tetszőleges elemei, és tegyük fel, hogy teljesül. Ekkor kitüntetett közös osztója -nak és -nek.
Legyen tetszőleges gyűrű. Ha minden ideálja végesen generált, akkor az ezekből álló halmazrendszer bármely nemüres részhalmazában létezik maximális elem a szerinti értelemben.
Legyen egy tetszőleges gyűrű, valamint legyen egy olyan, részgyűrűkből álló halmazrendszer fölött, amelyben bármely két részgyűrű között legalább az egyik irányban fennáll a szimbólummal jelölt tartalmazási reláció. Ekkor az -ben lévő halmazok uniója is részgyűrű …
Legyen egy tetszőleges halmaz, pedig egy feletti halmazrendszer. Ekkor a hamaz részhalmazai közötti reláció egy részbenrendezés a halmazrendszer elemei között. Azaz a reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. A szigorú tartalmazási reláció ezzel szemben nem részbenrendezés, …
Legyen tetszőleges integritástartomány, pedig az összes főideáljából álló halmazrendszer fölött. A számelmélet alaptétele akkor és csak akkor teljesül -ben, ha fennállnak az alábbi feltételek: A főideálokból álló halmazrendszer bármely nemüres részhalmazában létezik maximális elem a …
Legyen tetszőleges kommutatív és nullosztómentes, de NEM egységelemes gyűrű, valamint legyenek és az tetszőleges elemei. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Az oszthatóság akkor és csak akkor teljesül, ha teljesül a szigorú tartalmazási reláció. Az egyenlőség akkor …
Legyen tetszőleges kommutatív és egységelemes gyűrű, valamint legyenek és az tetszőleges elemei. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Az oszthatóság akkor és csak akkor teljesül, ha teljesül a tartalmazási reláció. Az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, …
Legyen egy tetszőleges gyűrű, továbbá az gyűrűnek egy tetszőleges részhalmaza. Jelöljük -szel azt az fölötti halmazrendszert, amelynek elemei pontosan azok a részgyűrűk -ben, amelyek tartalmazzák -et. Ekkor -ben létezik pontosan egy legszűkebb elem, amelyet az …
Legyen egy tetszőleges gyűrű, valamint legyen egy olyan feletti halmazrendszer, amely valahány – akár végtelen számú – részgyűrűjét tartalmazza elemként. Ekkor az -ben lévő halmazok metszete is részgyűrű -ben. Ehhez hasonlóan ha az egy olyan …
Legyen egy tetszőleges halmaz, pedig egy tetszőleges halmazrendszer felett. Ekkor -ban legfeljebb egy legszűkebb (illetve legbővebb) elem létezhet. Ezen túlmenően, ha a legszűkebb (illetve legbővebb) elem -ban, akkor egyrészt minimális (illetve maximális) elem -ban, másrészt …
Legyenek , és tetszőleges halmazok, valamint jelölje az univerzális, pedig az üres halmazt. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Az üres halmaz az unióképzés, az univerzális halmaz pedig a metszetképzés műveletére nézve neutrális elem (lásd a t), …
Legyen adva egy gyűrű és annak egy részhalmaza. Az részhalmaz akkor és csak akkor magja egy valamilyen -ből kiinduló gyűrűhomomorfizmusnak, ha ideál -ben.
Legyenek és tetszőleges gyűrűk, valamint tegyük fel, hogy adva van egy gyűrűhomomorfizmus. Ekkor , azaz az -ből képzett magja szerinti faktorgyűrű izomorf képével.
Legyen tetszőleges gyűrű, pedig valamilyen ideál -ben. Tegyük fel továbbá, hogy az gyűrű valamilyen és valamint és elemeire teljesülnek az alábbi kongruenciák: Ekkor teljesülnek az alábbi kongruenciák is:
