Ha a természetes számok halmazának tetszőleges nemüres részhalmaza, akkor -nek van minimuma a szerinti relációra nézve. Minimum alatt egy olyan elem létezését értjük, amelyre tetszőleges -beli elem esetén teljesül a reláció.
Legyen egy tetszőleges integritástartomány. Ekkor tetszőleges , és elemekre az oszthatóság akkor és csak akkor teljesül, amikor az oszthatóság is. Egy integritástartományban tehát egy oszthatóság mindkét oldalát szabad egyrészt megszorozni bármilyen elemmel, másrészt egyszerűsíteni bármilyen …
Legyen egy tetszőleges integritástartomány. Ekkor ha valamely és elemeknek létezik az kitüntetett közös osztója, akkor tetszőleges elem esetén érvényes az alábbi összefüggés:
Legyen egy tetszőleges integritástartomány, amelyben bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója. Ekkor ha valamely , és elemek esetén teljesül az oszthatóság és relatív prím -hez, akkor teljesül az oszthatóság is.
Legyen egy tetszőleges integritástartomány. Ha bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója, akkor -ben minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú.
Ha és tetszőleges egész számok, és , akkor az oszthatóságból következik, hogy . Azaz tetszőleges pozitív egész szám legalább akkora, mint bármely osztója.
Legyen egy tetszőleges integritástartomány, amelyben bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója. Ekkor tetszőleges , és elemekre érvényes az alábbi összefüggés: Azaz és mindig egymás asszociáltjai.
Tegyük fel, hogy a egész szám valamely és egész számok legnagyobb közös osztója. Tegyük fel továbbá, hogy -nak és -nek létezik legalább 1 kitüntetett közös osztója, amelyet jelöljünk most -vel. Ekkor és egymás asszociáltjai, és …
Ha egy integritástartományban valamely és elemeknek létezik kitüntetett közös osztója, akkor az asszociáltságtól eltekintve egyértelmű. Ezalatt egyrészt azt értjük, hogy egy kitüntetett közös osztó bármely asszociáltja is kitüntetett közös osztó, másrészt pedig azt, hogy bármely …
Legyen egy integritástartomány, amelyben nem létezik egységelem. Ekkor -ben nem teljesül a számelmélet alaptétele. Másként fogalmazva az alaptétel csak egységelemes integritástartományokban teljesülhet.
Legyen egy integritástartomány, amelyben minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú. Ekkor -ben teljesül a számelmélet alaptételének egyértelműségi állítása. Azaz amennyiben egy nem nulla, nem egység elem felbontható felbonthatatlan elemeinek szorzatára, úgy ez a felbontás asszociáltságtól és a …
Egy kommutatív, egységelemes és nullosztómentes gyűrűben két elem akkor és csak akkor asszociáltjai egymásnak, ha az egyik a másiknak egységszerese. Amennyiben a gyűrű csak kommutatív és egységelemes, de nem feltétlenül nullosztómentes, úgy csak annyit tudunk …
Legyenek , és egy integritástartomány valamely elemei, amelyekre teljesül az alábbi: Ekkor ha és közül valamelyik egység, akkor a másik -nak asszociáltja. Fordítva: ha és közül valamelyik -nak asszociáltja, akkor a másik egység.
Tetszőleges kommutatív gyűrű esetén igazak az alábbiak: A gyűrű minden eleme és az ellentettje egymás asszociáltjai. Azaz minden elemre fennáll az reláció. Ha fennáll az asszociáció, akkor fennállnak az , valamint asszociációk is. A nullelemnek …
Egy kommutatív és egységelemes gyűrűben két elem akkor és csak akkor asszociáltjai egymásnak, ha egymás osztói. Azaz valamely és elemek között akkor és csak akkor teljesül az asszociáció, ha fennállnak az és oszthatóságok. Amennyiben a …
Egy kommutatív és nullosztómentes gyűrűben akkor és csak akkor létezik egység, ha létezik egységelem. Amennyiben a gyűrű csak kommutatív, de nem feltétlenül nullosztómentes, úgy csak annyit tudunk mondani, hogy ha létezik egységelem, akkor létezik egység …
