Legyen egy tetszőleges kommutatív gyűrű. Ekkor igazak az alábbiak: Ha a gyűrű egységelemes, akkor minden elem osztója önmagának. Ha a gyűrű nullosztómentes, és létezik olyan elem, amely osztója önmagának, akkor a gyűrű egységelemes. Tetszőleges -ra …
Legyen egy tetszőleges kommutatív gyűrű. Ekkor a szerinti asszociáltság egy ekvivalenciareláció a gyűrű alaphalmazán. Más szavakkal tetszőleges , és elemekre teljesülnek az alábbiak: (reflexivitás). Ha , akkor (szimmetria). Ha és , akkor (tranzitivitás).
Tegyük fel, hogy egy olyan nullosztómentes gyűrű, amely teljesen rendezhető – azaz létezik legalább egy, a szerinti rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezés a gyűrű alaphalmazán. Ekkor minden nemnulla elem önmagával vett szorzata, valamint az összes …
E tétel megfogalmazásához az alábbi jelöléseket használjuk: -gyel a Peano-axiómarendszer () szerint definiált halmazt jelöljük. Az egész számokra a szerinti jelölést alkalmazzuk. A halmazon értelmezett szerinti teljes rendezést a , az halmazon értelmezett szerinti teljes …
Az egész számok gyűrűjének alaphalmazán pontosan egy olyan teljes rendezés létezik, amelyre teljesülnek a ban megfogalmazott rendezési axiómák. Ennek a rendezésnek a pozitivitástartománya épp a szerinti pozitív, negativitástartománya pedig az ugyanezen definíció szerinti negatív egész …
Tegyük fel, hogy egy tetszőleges gyűrű, valamint egy valamilyen, ezen a gyűrűn definiált, a szerinti rendezési axiómákat kielégítő részbenrendezési reláció pozitivitástartománya. A -hez tartozó részbenrendezési reláció akkor és csak akkor teljes rendezés, ha minden nemnulla …
Tegyük fel, hogy egy nullosztómentes gyűrű, valamint a gyűrű alaphalmazának egy részhalmaza. A halmaz akkor és csak akkor pozitivitástartománya valamilyen -en értelmezett, a szerinti rendezési axiómákat is kielégítő részbenrendezésnek, ha zárt az összeadásra és a …
Tegyük fel, hogy egy részbenrendezhető gyűrű, valamint legyen és két tetszőleges részbenrendezési reláció, amelyek kielégítik a ban megfogalmazott rendezési axiómákat. Amennyiben tetszőleges és gyűrűelemekre pontosan akkor teljesül, amikor is teljesül, úgy a két rendezés pozitivitástartománya …
Tegyük fel, hogy egy kommutatív gyűrű, amelynek alaphalmazán értelmezve van egy részbenrendezési reláció. Jelöljük ezt a relációt a szimbólummal, és tegyük fel, hogy a reláció kompatibilis a gyűrű műveletével. Tételezzük fel továbbá, hogy a gyűrű …
Tegyük fel, hogy egy tetszőleges gyűrű, amelynek alaphalmazán értelmezve van egy részbenrendezési reláció. Jelöljük ezt a relációt a szimbólummal, és tegyük fel, hogy a reláció kompatibilis a gyűrű műveletével. Ekkor tetszőleges , és elemekre igazak …
A természetes számok halmazán tetszőleges , és számokra igazak az alábbiak: Ha akkor . Ha akkor . Ha tehát egy egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk ugyanazt a természetes számot, vagy mindkét oldalát megszorozzuk ugyanazzal a természetes …
Legyen tetszőleges (nem feltétlenül kommutatív) nullosztómentes gyűrű a szokásos jelölésekkel. Ekkor bármely , és elemek esetén teljesülnek az alábbiak: Ha , akkor . Ha , akkor . Igaz a tétel megfordítása is: Amennyiben tetszőleges , …
A halmaz tetszőleges , és elemeire igazak az alábbi összefüggések: Más szavakkal a művelet kommutatív és asszociatív, valamint disztributív a műveletre nézve.
Tegyük fel, hogy egy valamilyen halmazon értelmezett asszociatív kétváltozós művelet. Ekkor tetszőleges -beli elemhez legfeljebb egy inverz elem létezik erre a műveletre nézve. Más szavakkal minden elem inverze egyértelmű, amennyiben létezik.
