Legyen egy tetszőleges gyűrű, és tegyük fel, hogy ideál -ben. Jelöljük -vel azt a halmazt, amelynek elemei a ben definiált ideál szerinti maradékosztályok. Vezessünk be ezek között két műveletet az alábbiak szerint: Ha és két …

Legyen adva egy gyűrű, és annak egy részhalmaza. A részhalmaz akkor és csak akkor képe egy -be mutató gyűrűhomomorfizmusnak, ha részgyűrű -ben.

Legyen tetszőleges gyűrű, valamint valamilyen ideál -ben. Ekkor a ban bevezetett szerinti kongruencia egy ekvivalenciareláció az gyűrű elemei között. Az ehhez tartozó ekvivalencia-osztályokat szerinti (modulo ) kongruenciaosztályoknak vagy szerinti (modulo ) maradékosztályoknak nevezzük. Ha egy …

Legyenek , és valamilyen tetszőleges gyűrűk, és tegyük fel, hogy adva van egy , valamint egy gyűrűhomomorfizmus. Legyen továbbá és az gyűrű két tetszőleges eleme. Amennyiben , úgy az kongruencia pontosan akkor teljesül, amikor az …

Tegyük fel, hogy adva van egy gyűrűhomomorfizmus valamilyen és gyűrűk között. Ekkor a ban bevezetett szerinti kongruencia egy ekvivalenciareláció az gyűrű elemei között. Az ehhez tartozó ekvivalencia-osztályokat szerinti kongruenciaosztályoknak vagy szerinti maradékosztályoknak nevezzük.

Tegyük fel, hogy egy gyűrű valamely részhalmaza egy -ből kiinduló gyűrűhomomorfizmus magja. Tegyük fel továbbá, hogy egy tetszőleges elem -ben, és egy tetszőleges elem -ben. Ekkor teljesülnek az alábbiak: részgyűrű -ben. Az és az szorzatok …

Egy tetszőleges gyűrű valamely részhalmaza akkor és csak akkor részgyűrű, ha teljesülnek az alábbi tulajdonságok: zárt az gyűrű összeadására. zárt az gyűrű szorzására. tartalmazza az gyűrű nullelemét. zárt az -beli ellentettképzésre.

Legyen adva egy és egy gyűrű, valamint egy közöttük lévő összegtartó leképezés. Ekkor igazak az alábbiak: Ha rendre és jelöli az és gyűrűk nullelemét, akkor . Ha rendre a és a szimbólumok jelölik az -beli …

Legyen egy tetszőleges kommutatív gyűrű, amelynek „szorzás” műveletét jelöljük a szokásos szimbólummal vagy egymás után írással. Tegyük fel továbbá, hogy ha a gyűrű valamely eleme, pedig tetszőleges pozitív egész, akkor az hatványon az alábbi tényezős …

Tegyük fel, hogy egy tetszőleges nemnulla egész szám. Ekkor a ban szereplő maradékképző függvény egy szürjektív gyűrűhomomorfizmus és között.

Tetszőleges egész szám esetén legyen a modulo m maradékok gyűrűje a moduláris összeadás és szorzás műveletével. A gyűrű akkor és csak akkor nullosztómentes, ha prímszám.

Tetszőleges egész szám esetén legyen a szerinti modulo m maradékok halmaza, és jelölje és az ezen a halmazon definiált moduláris összeadás és szorzás műveletét. Ekkor egy kommutatív gyűrűt alkot ezzel a két művelettel, amely esetén …

Tetszőleges és egész számhoz pontosan egy olyan hányados és maradék létezik, melyekre teljesülnek az alábbiak:

Tegyük fel, hogy , és tetszőleges egész számok, melyekre teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek: Tegyük fel továbbá, hogy teljesül a oszthatóság is. Ekkor és megegyezik.

Tegyük fel, hogy és valamilyen integritástartomány tetszőleges elemei. Ekkor igazak az alábbiak: A kitüntetett közös osztó mindig létezik, és . Ha létezik az kitüntetett közös osztó, akkor a kitüntetett közös osztó is létezik, és . …

Minden euklidészi gyűrűben – és így a miatt az egész számok gyűrűjében is – teljesül a számelmélet alaptétele.

Legyen tetszőleges euklidészi gyűrű, pedig egy olyan euklidészi norma ezen a gyűrűn, amelyre teljesül a ben szereplő egyenlőtlenségi tulajdonság. Ekkor tetszőleges és elemek esetén akkor és csak akkor teljesül, ha egység. Minden más esetben szigorú …

Legyen tetszőleges euklidészi gyűrű, azaz tegyük fel, hogy -ben létezik valamilyen euklidészi norma. Ekkor létezik olyan euklidészi norma is, amely a ban megfogalmazott tulajdonságokon kívül tetszőleges és elemekre teljesíti az alábbi egyenlőtlenségi tulajdonságot is: A …

A szerinti abszolútérték-függvény egy euklidészi norma a gyűrűn. Más szavakkal: egy euklidészi gyűrű.

Ha egy integritástartomány euklidészi gyűrű, akkor bármely két -beli elemnek létezik kitüntetett közös osztója.