Legyenek és valamilyen pozitív egész számok, továbbá tegyük fel, hogy és egymáshoz relatív prímek. Ekkor minden maradékosztályhoz pontosan egy olyan maradékosztálypár létezik, amelynek a metszete, azaz amelyre teljesül az alábbi: Amennyiben az maradékosztályt egy valamilyen …
Legyenek és valamilyen pozitív egész számok, továbbá tegyük fel, hogy és egymáshoz relatív prímek. Ekkor minden rendezett pár esetén . Tegyük fel, hogy az és egész számok kielégítik az alábbi kongruenciákat: Amennyiben az és maradékosztályokat …
Legyenek , , …, tetszőleges gyűrűk, és értelmezzünk két műveletet az halmaz tetszőleges és elemei között az alábbi módon: Azaz a illetve a műveleteket úgy kell elvégezni, hogy az azonos pozícióban lévő komponensek összegeit illetve …
Legyen és tetszőleges, és pedig valamilyen pozitív egész számok. Tegyük fel továbbá, hogy és egymáshoz relatív prímek. Ekkor az alábbi kongruenciarendszer megoldható, és a megoldás egyetlen modulo maradékosztály lesz: Más megfogalmazásban minden, a fenti két …
Legyen egy tetszőleges pozitív prím, továbbá egy tetszőleges egész szám, amely relatív prím -hez. Ekkor teljesül az alábbi kongruencia: Az alábbi kongruencia tetszőleges egész számra – tehát nem csak a -hez relatív prímekre – teljesül:
Legyen valamilyen pozitív prímszám, pedig tetszőleges, -nél nagyobb pozitív egész. Ekkor teljesül az alábbi: Speciálisan prímszámokra az Euler-féle -függvény értéke:
Legyenek , és tetszőleges egész számok, és tegyük fel, hogy és közül legalább az egyik nemnulla. Tegyük fel továbbá, hogy az alábbi lineáris diofantoszi egyenlet megoldható: Ekkor igazak az alábbiak: 1. Az egyenlet egyik megoldását …
Legyen euklidészi gyűrű (lásd a t), továbbá legyenek és az tetszőleges elemei. Ekkor az kitüntetett közös osztó kifejezhető alakban az gyűrű alkalmasan választott és elemeinek segítségével. Ezt az összeget az és elemek és elemekkel vett …
Legyen adva egy tetszőleges nemnegatív egész szám. A ben bevezetett modulo kongruencia egy ekvivalenciareláció az egész számok gyűrűjén. Az ehhez tartozó ekvivalencia-osztályokat modulo kongruenciaosztályoknak vagy modulo maradékosztályoknak nevezzük. Ha , akkor pontosan darab modulo maradékosztály …
Legyen és tetszőleges, pedig valamilyen pozitív egész szám. Jelöljük továbbá az és egész számok pozitív kitüntetett közös osztóját -vel, azaz . Ekkor igazak az alábbi állítások: Ha az kongruencia megoldható, akkor a szerinti értelemben vett …
Legyen főideálgyűrű, továbbá legyenek és az tetszőleges elemei. Ekkor az és elemek kitüntetett közös osztója kifejezhető alakban az gyűrű alkalmasan választott és elemeinek segítségével. Ezt az összeget az és elemek és elemekkel vett lineáris kombinációjának …
Legyen tetszőleges, valamilyen pozitív, pedig egy -hez relatív prím egész szám. Amennyiben az , , …, egész számok egy modulo teljes maradékrendszert alkotnak, akkor az alábbi számok is: , , …, . Amennyiben az , …
Legyen tetszőleges pozitív egész szám. Egy egész számokból álló halmaz akkor és csak akkor alkot modulo teljes maradékrendszert, ha teljesülnek az alábbi feltételek: A halmaz elemeinek száma . A halmaz tetszőleges és elemeire esetén . …
Legyen tetszőleges pozitív egész szám. Egy egész szám által reprezentált maradékosztály akkor és csak akkor redukált – azaz invertálható –, ha relatív prím -hez. Ha , akkor az és kitüntetett közös osztók asszociáltak, azaz . …
Legyen és tetszőleges, pedig valamilyen pozitív egész szám. Ekkor az lineáris kongruencia akkor és csak akkor oldható meg, ha megoldható az alábbi úgynevezett lineáris diofantoszi egyenlet: Itt megoldáson egy olyan egész számpárt értünk, amelyeket a …
Legyen egy tetszőleges nemnegatív egész szám, és jelöljük -vel azt a halmazt, amelynek elemei a ben definiált modulo maradékosztályok. Ha valamilyen egész szám, akkor jelöljük -mel az -t tartalmazó modulo maradékosztályt. Ilyenkor azt mondjuk, hogy …
Legyen , , és tetszőleges, pozitív egész szám, pedig a és egész számok kitüntetett közös osztója, azaz . Ebben az esetben az kongruencia akkor és csak akkor teljesül, amikor teljesül az alábbi kongruencia is: Itt …
Legyenek , , , tetszőleges, valamint nemnegatív egész szám. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Teljesül az kongruencia, azaz minden egész szám kongruens önmagával modulo . Ha , akkor . Ha és , akkor . Ha és …
Legyenek , két tetszőleges, valamint nemnegatív egész szám, és legyen az által generált főideál, azaz . Ekkor teljesülnek az alábbiak: Amennyiben , úgy a szerinti kongruencia akkor és csak akkor teljesül, ha és ugyanazt a …
