A tehát azon -nél nemnagyobb pozitív egészeknek a számával egyezik meg, amelyek -hez relatív prímek. Vegyük észre, hogy tetszőleges egész szám akkor és csak akkor relatív prím -hez, ha relatív prím -hoz is és -hez …
Legyen és az integritástartomány két tetszőleges eleme, és jelöljük -rel a nullelemet, -rel pedig az egységelemet – amely ugye létezik, hiszen a alapján minden euklidészi gyűrű egységelemes. Ha és közül mindkettő , akkor a 1. …
Az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy az feltétel teljesül. Ha ugyanis mégsem így lenne, akkor a tétel szövege alapján szükségképpen teljesül az feltétel, és az alábbi gondolatmenet az és együtthatók szerepének felcserélésével ugyanígy végigjátszható. Először …
A alapján az állítás teljesül minden főideálgyűrűben. Minthogy a értelmében minden euklidészi gyűrű főideálgyűrű, ezért az állítás nyilvánvalóan teljesül speciálisan az euklidészi gyűrűkben is.
Legyen valamilyen pozitív prímszám, pedig tetszőleges, -nél nagyobb pozitív egész. Ekkor teljesül az alábbi: Speciálisan prímszámokra az Euler-féle -függvény értéke:
Legyenek , és tetszőleges egész számok, és tegyük fel, hogy és közül legalább az egyik nemnulla. Tegyük fel továbbá, hogy az alábbi lineáris diofantoszi egyenlet megoldható: Ekkor igazak az alábbiak: 1. Az egyenlet egyik megoldását …
Legyen euklidészi gyűrű (lásd a t), továbbá legyenek és az tetszőleges elemei. Ekkor az kitüntetett közös osztó kifejezhető alakban az gyűrű alkalmasan választott és elemeinek segítségével. Ezt az összeget az és elemek és elemekkel vett …
Nyilvánvaló, hogyha egy egész számot helyére behelyettesítve a kongruencia teljesül – azaz –, akkor ez igaz lesz az által reprezentált maradékosztály összes többi elemére is. Ha ugyanis egy egész szám benne van ebben a maradékosztályban, …
A utáni megjegyzésben szereplő okok miatt negatív modulus szerinti maradékosztályokról sem szoktunk beszélni. Ugyanis a modulo kongruencia pontosan ugyanaz a reláció, mint a modulo kongruencia, és így az általuk meghatározott maradékosztályok is megegyeznek.
Vegyük észre, hogy a tétel bizonyításához kizárólag néhány, ideál szerinti kongruenciákra vonatkozó korábbi állítást, valamint – a 9. állítás esetében – egy ideálok közötti tartalmazási relációt használtunk fel. Emiatt az összes most bizonyított azonosság automatikusan …
Az jelölés némiképp eltér az ideál szerinti kongruencia jában szereplő jelöléstől. Történelmileg az előbbi volt hamarabb, és ekkor még kizárólag az osztási maradékokkal kapcsolatos jelentést értették alatta, amelyet épp a tétel 1. állítása fogalmaz meg. …
E tétel egy egyszerű következménye, hogy ha a szorzó tényező relatív prím az modulushoz, akkor a -vel való egyszerűsítés után a kongruencia változatlan modulus mellett érvényben marad. Azaz ebben az esetben az kongruenciából következik az …
Nézzük először a teljes maradékrendszerre vonatkozó állítást! Mivel az új maradékrendszer elemszáma is , ezért a alapján elegendő a páronkénti inkongruenciát ellenőrizni. Legyen tehát és az új maradékrendszer két tetszőleges eleme, és tegyük fel, hogy …
Nézzük először a teljes maradékrendszerekre vonatkozó állítást! Tegyük fel, hogy teljes maradékrendszer modulo . Mivel a modulo maradékosztályok száma a alapján , és minden maradékosztályból pontosan egy elemet tartalmaz, ezért elemszáma szükségképpen . Továbbá elemei …
Az maradékosztály a alapján pontosan akkor redukált, ha invertálható, azaz egyértelműen létezik olyan maradékosztály, amelyre teljesül az alábbi: Ez pontosan az alábbi lineáris kongruencia egyértelmű megoldhatóságát jelenti: Ez viszont a szerint pontosan akkor oldható meg, …
Elegendő a 2. állítást igazolni, abból ugyanis automatikusan következik a megoldásszámra vonatkozó 1. állítás. Azt mondtuk, hogy az egész szám által reprezentált maradékosztály megoldása a kongruenciának, azaz: Válasszunk most egy tetszőleges egész számot. Az általa …
Először is a balideálok elemeire vonatkozó állítást igazoljuk. Jelöljük -vel azt a halmazt, amely pontosan az alakban felírható elemeket tartalmazza. Azt kell bizonyítani, hogy a legszűkebb olyan balideál, amely tartalmazza az , , …, elemeket. …
A modulo maradékosztályok pontosan az főideál szerinti maradékosztályokkal egyeznek meg. Emiatt a halmaz a tételben bevezetett és műveletekkel nem más, mint a gyűrűnek az főideál szerinti faktorgyűrűje, azaz a ben bevezetett jelölésekkel . Innentől kezdve …
A ben bevezetett modulo kongruencia ekvivalens az főideál szerinti kongruenciával. Ez utóbbi a alapján valóban egy ekvivalenciareláció, így tehát a modulo kongruencia is az. Mivel e két kongruencia ekvivalens, ezért pontosan ugyanazok lesznek a maradékosztályaik. …
