Episode I: Alice és Bob
. rész: Euler-függvény alternatív definíció
Posted on

Legyen tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor az Euler-féle -függvény a , , , …, egész számok közül az -hez relatív prímek számát adja meg.

Episode I: Alice és Bob
. rész: Ideálok és a kitüntetett közös osztó megfordítás
Posted on

Legyen tetszőleges integritástartomány, amelyben létezik egységelem. Legyenek továbbá , és az tetszőleges elemei. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Ha kitüntetett közös osztója -nak és -nek, akkor . Az halmazegyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha kitüntetett …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Végesen generált ideál elemei
Posted on

Legyen egy tetszőleges egységelemes gyűrű, továbbá legyenek , , …, az gyűrű tetszőleges elemei. Ekkor az ezen elemek által generált balideál minden eleme felírható alakban az gyűrű alkalmasan választott , , …, elemeinek segítségével. Visszafelé: …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Redukált maradékosztály
Posted on

Legyen egy tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor a -vel jelölt modulo maradékosztálygyűrű (lásd a t) invertálható elemeit modulo redukált maradékosztályoknak nevezzük.

Episode I: Alice és Bob
. rész: Az Euler-függvény
Posted on

Legyen tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor a modulo redukált maradékosztályok számát a -mel jelölt függvény értéke adja meg. Ezt a függvényt Euler-féle -függvénynek (ejtsd: „fi”) nevezzük.

Episode I: Alice és Bob
. rész: Lineáris kongruenciák
Posted on

Legyen és tetszőleges, pedig valamilyen pozitív egész szám. Ekkor az alábbi kongruenciaegyenletet lineáris kongruenciának nevezzük: Egy lineáris kongruencia egy megoldásán egy olyan modulo maradékosztályt értünk, amelynek tetszőleges elemét helyére behelyettesítve a kongruencia teljesül. Egy lineáris …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Teljes és redukált maradékrendszer
Posted on

Legyen egy pozitív egész szám. Ha minden modulo maradékosztályból pontosan egy elemet kiveszünk, akkor az így kapott számhalmazt modulo teljes maradékrendszernek nevezzük. Ehhez hasonlóan ha minden modulo redukált maradékosztályból pontosan egy elemet kiveszünk, akkor az …

Episode I: Alice és Bob
20. rész: Alice, Bob, Euler és Fermat
Posted on

Mit jelent a kongruencia és a maradékosztálygyűrű fogalma az egész számok esetén? Mik azok a teljes és redukált maradékrendszerek, és milyen tulajdonságaik vannak? Mit mér az Euler-függvény? Mit nevezünk lineáris kongruenciának és mikor létezik megoldása? Mit állít az Euler-Fermat tétel és miért olyan fontos?

Episode I: Alice és Bob
. rész: Ideálok és a kitüntetett közös osztó – megjegyzés
Posted on

Az Olvasót eddig esetleg zavarhatta, hogy az és elemeket tartalmazó legszűkebb ideált ugyanúgy -vel jelöljük, mint e két elem kitüntetett közös osztóját. Ez a tétel pontosan ennek az okára világít rá.

Episode I: Alice és Bob
19. rész: Alice és Bob ideáljai
Posted on

Hogyan néznek ki az egész számok gyűrűjének ideáljai? Mi a kapcsolat az ideálok és az oszthatósági alapfogalmak között? Mik azok a főideálgyűrűk, és ezeknek milyen jó tulajdonságaik vannak? Mi közük az euklidészi gyűrűkhöz? Hogyan zárható le a számelmélet alaptételének kérdése végérvényesen az ideálok segítségével?

Episode I: Alice és Bob
. rész: Részhalmaz – megjegyzés
Posted on

Az imént bevezetett szimbólummal jelölt tartalmazási relációt ne keverjük össze a ban bevezetett relációval. Nagyon nem ugyanaz a két fogalom! Ha például és két halmaz, akkor azt fejezi ki, hogy összes eleme egyúttal -nek is …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Halmazelméleti alapfogalmak – megjegyzés
Posted on

Például ha a páros számok halmaza, akkor ezt leírhatjuk az alábbi módokon: Az elemek felsorolása intuitív módon: Leírás eldöntési szabállyal („olyan -ek, amelyek oszthatók 2-vel”): Szöveges leírás: A definícióval kapcsolatban megjegyezzük az alábbiakat: Az üres …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Végesen generált ideálok maximumfeltétele – bizonyítás
Posted on

Tegyük fel indirekt, hogy minden ideálja végesen generált, ám ennek ellenére az halmazrendszernek létezik egy olyan nemüres részhalmaza, amelynek nincs maximális eleme. Ez a alapján azt jelenti, hogy bármilyen ideált választunk is ki -ből, biztosan …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Ideálok uniója ideál – bizonyítás
Posted on

Nézzük először a részgyűrűk uniójára vonatkozó állítást! Jelöljük -sel az halmazrendszerben lévő részgyűrűk unióját. Azt kell megmutatni, hogy részgyűrű -ben. Ez a szerint pontosan akkor teljesül, ha zárt az -beli összeadásra, szorzásra és ellentettképzésre, valamint …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Euklidészi gyűrű főideálgyűrű – bizonyítás
Posted on

Legyen egy tetszőleges euklidészi gyűrű, pedig egy tetszőleges ideál -ben. Azt kell megmutatnunk, hogy létezik olyan elem, amely generálja -t, azaz amelyre teljesül. Jelöljük az euklidészi gyűrű nullelmét -rel. Ha csak a nullelemből áll, akkor …