Legyen egy tetszőleges halmaz, pedig egy tetszőleges halmazrendszer felett. A halmazrendszer egy elemét -ban minimális elemnek nevezzük, ha nem létezik olyan elem a halmazrendszerben, amelyre teljesülne, és -ban legszűkebb (vagy legkisebb) elemnek nevezzük, ha a …
Legyen egy tetszőleges halmaz, valamint jelöljük -val azt a halmazt, amelynek elemei -nak bizonyos részhalmazai – de nem feltétlenül az összes. Ekkor a halmazt egy feletti halmazrendszernek, magát a halmazt pedig e halmazrendszer alaphalmazának nevezzük. …
A halmazelmélet mindössze két alapfogalmat használ. Ezek: a „halmaz” és az „eleme lenni” reláció. A halmazokat konvencionálisan nyomtatott nagybetűkkel jelöljük. Például: . Azt, hogy egy vizsgált objektum eleme az halmaznak, így jelöljük: . Azt, hogy …
Legyen és két tetszőleges halmaz. Ekkor az és halmazok uniójának (vagy egyesítésének) nevezett halmaznak azok az objektumok az elemei, amelyek elemei az és közül legalább az egyiknek. Ezt a halmazt -vel jelöljök. Az és halmazok …
Legyenek és valamilyen halmazok. Tegyük fel továbbá, hogy minden olyan esetben, amikor teljesül, egyúttal teljesül is. Ekkor azt mondjuk, hogy az halmaz részhalmaza a halmaznak, vagy más szavakkal a halmaz tartalmazza az halmazt. Ezt így …
A gyűrűizomorfizmus szimmetrikus: Azaz ha teljesül, akkor is teljesül. Nyilván, hiszen ha az ábrán a nyilak irányát megfordítjuk, akkor az így kapott megfeleltetés is kölcsönösen egyértelmű. Ez azt jelenti, hogy ha és az gyűrű két …
A definícióból azonnal adódnak az alábbi észrevételek: A maradékképzés valóban egy függvény, mivel a hozzárendelés a alapján egyértelmű. Ez alatt azt értjük, hogy minden egész számhoz pontosan egy modulo maradék rendelhető, se több, se kevesebb. …
A ban szereplő kongruenciára a most definiált fogalom segítségével egy alternatív definíciót is adhatunk. Nevezetesen: az gyűrű valamely és elemei között akkor és csak akkor teljesül az gyűrűhomomorfizmus szerinti kongruencia (azaz akkor és csak akkor …
Ez alapján tehát ha és az gyűrű két tetszőleges eleme, akkor az és maradékosztályok viszonyaira vonatkozóan két eset lehetséges. Vagy teljesen megegyeznek egymással, azaz pontosan ugyanazok az elemeik, vagy pedig egyáltalán nincs közös elemük. Ha …
Tegyük fel, hogy egy nemnulla egész szám. Ekkor az -mel osztható egész számok halmazát (vagy más szavakkal többszöröseit) a fenti komplexusszorzást alkalmazva -vel jelölhetjük. Például a páros számok halmazát ezért jelöljük -vel. A komplexusösszeadást is …
Legyenek és tetszőleges gyűrűk, valamint legyen adva közöttük egy gyűrűhomomorfizmus. Ekkor az gyűrűhomomorfizmus magjának nevezzük azon -beli elemek halmazát, melyeknek szerinti képe az gyűrű nulleleme. Az magját – az angol „kernel” szóból eredeztetve – így …
Tegyük fel, hogy adva van egy és egy gyűrű. Ekkor egy függvényt gyűrűhomomorfizmusnak nevezünk, amennyiben tetszőleges -beli és elemekre teljesülnek az alábbi követelmények: Amennyiben minden eleme legalább egy -beli elemhez hozzá van rendelve, akkor -et …
Legyen tetszőleges gyűrű és legyen valamilyen ideál -ben. Amennyiben az gyűrű valamilyen és elemeire teljesül, hogy az különbség az ideálnak eleme, akkor azt mondjuk, hogy és kongruensek az ideál szerint (vagy kongruensek modulo ). Ezt …
Tegyük fel, hogy és tetszőleges gyűrűk, valamint adva van közöttük egy gyűrűhomomorfizmus. Amennyiben az gyűrű valamilyen és elemeire teljesül, hogy , akkor azt mondjuk, hogy és kongruensek az gyűrűhomomorfizmus szerint. Ezt a relációt így jelöljük: …
Tegyük fel, hogy egy tetszőleges részhalmaza egy valamilyen halmaznak, valamint legyen egy tetszőleges -beli elem. Amennyiben a halmazon értelmezve van egy -tal vagy egymás után írással jelölt, szorzásnak nevezett művelet, akkor -val vagy -val jelöljük …
Legyen adva egy gyűrű, valamint annak egy részhalmaza, amely részgyűrű -ben. Tegyük fel továbbá, hogy az gyűrű egy tetszőleges – tehát nem feltétlenül -beli – eleme. Amennyiben az részgyűrű tetszőleges eleme esetén az szorzat is …
Ha egy gyűrű valamely részhalmaza maga is gyűrű az műveleteire nézve, akkor azt mondjuk, hogy részgyűrű -ben. Ezt így jelöljük: . A nullgyűrű és maga a teljes nyilvánvalóan részgyűrűk -ben. Ezeket triviális részgyűrűknek nevezzük. Azt, …
Legyen tetszőleges nemnulla egész szám. Jelölje azt a halmazt, amelynek elemei az abszolútértékénél kisebb, nemnegatív (azaz a , , , …, ) egész számok. E halmaz elemeit modulo m maradékoknak nevezzük. Azt a függvényt, amely …
Az első két kongruencia a alapján épp azt jelenti, hogy az és a különbségek benne vannak -ben. Minthogy részgyűrű -ben (hiszen ideál), ezért e két különbség összege, azaz szintén -ben van, és így valóban teljesül …
Tekintsük azt az gyűrűhomomorfizmust, amelynek képe . Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen gyűrű elemein van értelmezve, amelynek nullelemét jelöljük most -szel, míg az gyűrű nullelemét jelöljük -sel. Azt kell megmutatnunk, hogy -re teljesülnek a ben …
