Nézzük először az elégségességet! Azaz egyrészt tegyük fel, hogy -ben minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú, másrészt pedig azt, hogy a főideálokból álló halmazrendszer bármely nemüres részhalmazának létezik maximuma. Ez utóbbi azt jelenti, hogy akárhogyan is választunk …
A utáni megjegyzés 3. és 5. pontjai alapján a reláció reflexív és antiszimmetrikus. Így már csak azt kell megmutatni, hogy teljesül a tranzitivitás is, azaz a halmazrendszer tetszőleges , és elemei esetén ha és , …
A alapján egy halmazrendszerben legfeljebb egy legszűkebb elem létezhet. Így elegendő megmutatni, hogy létezik legszűkebb elem, az ugyanis garantáltan az egyetlen legszűkebb elem lesz. Mivel az gyűrű tetszőleges részhalmaza lehet, ezért előszöris kérdés, hogy létezik-e …
Nézzük először a részgyűrűk metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük -sel az halmazrendszerben lévő részgyűrűk metszetét. Azt kell megmutatni, hogy részgyűrű -ben. Ez a szerint pontosan akkor teljesül, ha zárt az -beli összeadásra, szorzásra és ellentettképzésre, valamint …
Az 1. tulajdonság: Ez nyilvánvalóan következik az üres halmaz és az univerzális halmaz definíciójából. Az üres halmaznak ugyanis nincs egyetlen eleme sem, így a vele végzett unióképzés nem ad hozzá elemeket semmilyen halmazhoz. Ehhez hasonlóan …
Legyen tetszőleges integritástartomány, amelyben létezik egységelem. Legyenek továbbá , és az tetszőleges elemei, és tegyük fel, hogy teljesül. Ekkor kitüntetett közös osztója -nak és -nek.
Legyen tetszőleges gyűrű. Ha minden ideálja végesen generált, akkor az ezekből álló halmazrendszer bármely nemüres részhalmazában létezik maximális elem a szerinti értelemben.
Legyen egy tetszőleges gyűrű, valamint legyen egy olyan, részgyűrűkből álló halmazrendszer fölött, amelyben bármely két részgyűrű között legalább az egyik irányban fennáll a szimbólummal jelölt tartalmazási reláció. Ekkor az -ben lévő halmazok uniója is részgyűrű …
Legyen egy tetszőleges halmaz, pedig egy feletti halmazrendszer. Ekkor a hamaz részhalmazai közötti reláció egy részbenrendezés a halmazrendszer elemei között. Azaz a reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. A szigorú tartalmazási reláció ezzel szemben nem részbenrendezés, …
Legyen tetszőleges integritástartomány, pedig az összes főideáljából álló halmazrendszer fölött. A számelmélet alaptétele akkor és csak akkor teljesül -ben, ha fennállnak az alábbi feltételek: A főideálokból álló halmazrendszer bármely nemüres részhalmazában létezik maximális elem a …
Legyen tetszőleges kommutatív és nullosztómentes, de NEM egységelemes gyűrű, valamint legyenek és az tetszőleges elemei. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Az oszthatóság akkor és csak akkor teljesül, ha teljesül a szigorú tartalmazási reláció. Az egyenlőség akkor …
Legyen tetszőleges kommutatív és egységelemes gyűrű, valamint legyenek és az tetszőleges elemei. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Az oszthatóság akkor és csak akkor teljesül, ha teljesül a tartalmazási reláció. Az egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, …
Legyen egy tetszőleges gyűrű, továbbá az gyűrűnek egy tetszőleges részhalmaza. Jelöljük -szel azt az fölötti halmazrendszert, amelynek elemei pontosan azok a részgyűrűk -ben, amelyek tartalmazzák -et. Ekkor -ben létezik pontosan egy legszűkebb elem, amelyet az …
Legyen egy tetszőleges gyűrű, valamint legyen egy olyan feletti halmazrendszer, amely valahány – akár végtelen számú – részgyűrűjét tartalmazza elemként. Ekkor az -ben lévő halmazok metszete is részgyűrű -ben. Ehhez hasonlóan ha az egy olyan …
Legyen egy tetszőleges halmaz, pedig egy tetszőleges halmazrendszer felett. Ekkor -ban legfeljebb egy legszűkebb (illetve legbővebb) elem létezhet. Ezen túlmenően, ha a legszűkebb (illetve legbővebb) elem -ban, akkor egyrészt minimális (illetve maximális) elem -ban, másrészt …
Legyenek , és tetszőleges halmazok, valamint jelölje az univerzális, pedig az üres halmazt. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Az üres halmaz az unióképzés, az univerzális halmaz pedig a metszetképzés műveletére nézve neutrális elem (lásd a t), …
Legyen tetszőleges integritástartomány, melyben létezik egységelem. Amennyiben minden ideálja főideál (azaz generálható egyetlen elemmel), akkor -t főideálgyűrűnek nevezzük.
Legyen tetszőleges gyűrű, pedig valamilyen ideál -ben. Amennyiben -nek létezik olyan véges számú elemet tartalmazó részhalmaza, amely esetén , akkor azt mondjuk, hogy az ideál végesen generált. Ezt így jelöljük: . Speciálisan ha generálható az …
