A utáni megjegyzés 5. pontja alapján a maradékképző függvény a , , , …, egész számokhoz mind különböző modulo maradékot rendel. Így a 1. pontja alapján ezek a számok páronként inkongruensek. Továbbá, mivel a számuk …
Az 1. állítás: Minthogy egy ideál az egész számok gyűrűjében, ezért a miatt ő biztosan magja egy valamilyen -ből kiinduló gyűrűhomomorfizmusnak. Ugyanezen tétel, valamint a utáni megjegyzés miatt azonban a ban definiált ideál szerinti kongruencia …
Tekintsünk egy tetszőleges modulo redukált maradékrendszert. Mivel relatív prím -hez, ezért a alapján az számhalmaz is egy modulo redukált maradékrendszert alkotnak. Ez azt jelenti, hogy mindkét számhalmaz tartalmaz egy-egy reprezentánselemet az összes létező redukált maradékosztályból. …
Elsőként megmutatjuk, hogy az lineáris kongruencia pontosan akkor oldható meg, amikor megoldható az lineáris diofantoszi egyenlet. Az megoldhatósága azt jelenti, hogy létezik olyan maradékosztály, amely megoldása ennek a kongruenciának. Az maradékosztályt tehát az egész számmal …
Jelöljük -vel az és elemek kitüntetett közös osztóját. Mivel főideálgyűrű, ezért az ideál is szükségképpen főideál, azaz generálható egyetlen elemmel is. Létezik tehát olyan gyűrűelem, hogy . Ekkor azonban a 2. pontja alapján is kitüntetett …
Az 1. állítás: Legyen tehát kitüntetett közös osztója -nak és -nek. Azt kell bizonyítani, hogy ekkor fennáll az tartalmazási reláció, azaz az ideál bármely eleme egyúttal a főideálnak is eleme. Legyen tehát az ideál egy …
Az kongruencia a 3. pontja alapján akkor és csak akkor teljesül, ha fennáll az , azaz a disztributivitási szabály miatt az alábbi oszthatóság: Ugye -vel jelöltük azt az egész számot, amelyet a kitüntetett közös osztóval …
A alapján az egész számok közötti modulo kongruencia teljesen ekvivalens az főideál szerinti kongruenciával, ezért minden olyan tétel vonatkozik rá, amelyet az ideálok szerinti kongruenciákkal kapcsolatban már bizonyítottunk. Így például az 1., 2. és 3. …
Legyen adva egy tetszőleges nemnegatív egész szám. A ben bevezetett modulo kongruencia egy ekvivalenciareláció az egész számok gyűrűjén. Az ehhez tartozó ekvivalencia-osztályokat modulo kongruenciaosztályoknak vagy modulo maradékosztályoknak nevezzük. Ha , akkor pontosan darab modulo maradékosztály …
Legyen és tetszőleges, pedig valamilyen pozitív egész szám. Jelöljük továbbá az és egész számok pozitív kitüntetett közös osztóját -vel, azaz . Ekkor igazak az alábbi állítások: Ha az kongruencia megoldható, akkor a szerinti értelemben vett …
Legyen főideálgyűrű, továbbá legyenek és az tetszőleges elemei. Ekkor az és elemek kitüntetett közös osztója kifejezhető alakban az gyűrű alkalmasan választott és elemeinek segítségével. Ezt az összeget az és elemek és elemekkel vett lineáris kombinációjának …
Legyen tetszőleges, valamilyen pozitív, pedig egy -hez relatív prím egész szám. Amennyiben az , , …, egész számok egy modulo teljes maradékrendszert alkotnak, akkor az alábbi számok is: , , …, . Amennyiben az , …
Legyen tetszőleges pozitív egész szám. Egy egész számokból álló halmaz akkor és csak akkor alkot modulo teljes maradékrendszert, ha teljesülnek az alábbi feltételek: A halmaz elemeinek száma . A halmaz tetszőleges és elemeire esetén . …
Legyen tetszőleges pozitív egész szám. Egy egész szám által reprezentált maradékosztály akkor és csak akkor redukált – azaz invertálható –, ha relatív prím -hez. Ha , akkor az és kitüntetett közös osztók asszociáltak, azaz . …
Legyen és tetszőleges, pedig valamilyen pozitív egész szám. Ekkor az lineáris kongruencia akkor és csak akkor oldható meg, ha megoldható az alábbi úgynevezett lineáris diofantoszi egyenlet: Itt megoldáson egy olyan egész számpárt értünk, amelyeket a …
Legyen egy tetszőleges nemnegatív egész szám, és jelöljük -vel azt a halmazt, amelynek elemei a ben definiált modulo maradékosztályok. Ha valamilyen egész szám, akkor jelöljük -mel az -t tartalmazó modulo maradékosztályt. Ilyenkor azt mondjuk, hogy …
Legyen , , és tetszőleges, pozitív egész szám, pedig a és egész számok kitüntetett közös osztója, azaz . Ebben az esetben az kongruencia akkor és csak akkor teljesül, amikor teljesül az alábbi kongruencia is: Itt …
Legyenek , , , tetszőleges, valamint nemnegatív egész szám. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Teljesül az kongruencia, azaz minden egész szám kongruens önmagával modulo . Ha , akkor . Ha és , akkor . Ha és …
Legyenek , két tetszőleges, valamint nemnegatív egész szám, és legyen az által generált főideál, azaz . Ekkor teljesülnek az alábbiak: Amennyiben , úgy a szerinti kongruencia akkor és csak akkor teljesül, ha és ugyanazt a …
Legyen tetszőleges pozitív, pedig egy -hez relatív prím egész szám. Ekkor teljesül az alábbi kongruencia: Itt az kifejezés alatt egy olyan tényezős szorzatot értünk, amelynek minden tényezője .
