Ha a természetes számok halmazának tetszőleges nemüres részhalmaza, akkor -nek van minimuma a szerinti relációra nézve. Minimum alatt egy olyan elem létezését értjük, amelyre tetszőleges -beli elem esetén teljesül a reláció.
Legyen egy tetszőleges integritástartomány. Ekkor tetszőleges , és elemekre az oszthatóság akkor és csak akkor teljesül, amikor az oszthatóság is. Egy integritástartományban tehát egy oszthatóság mindkét oldalát szabad egyrészt megszorozni bármilyen elemmel, másrészt egyszerűsíteni bármilyen …
Legyen egy tetszőleges integritástartomány. Ekkor ha valamely és elemeknek létezik az kitüntetett közös osztója, akkor tetszőleges elem esetén érvényes az alábbi összefüggés:
Legyen egy tetszőleges integritástartomány, amelyben bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója. Ekkor ha valamely , és elemek esetén teljesül az oszthatóság és relatív prím -hez, akkor teljesül az oszthatóság is.
Legyen egy tetszőleges integritástartomány. Ha bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója, akkor -ben minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú.
Ha és tetszőleges egész számok, és , akkor az oszthatóságból következik, hogy . Azaz tetszőleges pozitív egész szám legalább akkora, mint bármely osztója.
Legyen egy tetszőleges integritástartomány, amelyben bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója. Ekkor tetszőleges , és elemekre érvényes az alábbi összefüggés: Azaz és mindig egymás asszociáltjai.
Tegyük fel, hogy a egész szám valamely és egész számok legnagyobb közös osztója. Tegyük fel továbbá, hogy -nak és -nek létezik legalább 1 kitüntetett közös osztója, amelyet jelöljünk most -vel. Ekkor és egymás asszociáltjai, és …
Ha egy integritástartományban valamely és elemeknek létezik kitüntetett közös osztója, akkor az asszociáltságtól eltekintve egyértelmű. Ezalatt egyrészt azt értjük, hogy egy kitüntetett közös osztó bármely asszociáltja is kitüntetett közös osztó, másrészt pedig azt, hogy bármely …
A alapján egy euklidészi gyűrűben bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója. Így a miatt minden felbonthatatlan elem prím. Ebből viszont a szerint következik a számelémélet alaptételének egyértelműségi állítása. Ha tehát valamely elemnek egyáltalán létezik …
Tegyük fel indirekt, hogy egy olyan galád részhalmaza -nek, amelynek nincs minimuma. Jelöljük ezen kívül -val -nek azt a részhalmazát, amely minden olyan természetes számot tartalmaz, amely kisebb bármely eleménél. Azaz egyrészt a halmaz minden …
Előszöris, mivel euklidészi gyűrű, így a alapján létezik egységelem. Ha egység, akkor a tétel értelmében osztója az egységelemnek. Létezik tehát olyan elem, amelyre teljesül. Mivel (máskülönben a szorzat a nullelem lenne), ezért a norma egyenlőtlenségi …
A bizonyítás konstruktív lesz, azaz az euklidészi norma segítségével definiálni fogunk egy olyan függvényt, amely maga is euklidészi norma, de ezen felül teljesíti a tételben szereplő egyenlőtlenségi tulajdonságot is. Tegyük fel, hogy valamilyen tetszőleges elemre …
Az abszolútérték-függvény képhalmaza a alapján valóban a természetes számok halmaza, hiszen az abszolútérték biztosan nemnegatív. A gyűrű nullelemének képe szintén a definíció alapján a természetes szám. Visszafelé: ha , akkor az alábbi két eset lehetséges: …
A bizonyításhoz az euklidészi algoritmus általánosított változatát fogjuk felhasználni. Legyen és az integritástartomány két tetszőleges eleme, és jelöljük -rel a nullelemet, -val pedig a „nulla” természetes számot. Ha vagy közül bármelyik , akkor létezik kitüntetett …
Az és relációk teljesülése, valamint az vagy relációk közül legalább az egyik teljesülése a miatt azt jelenti, hogy léteznek és természetes számok, amelyek közül legalább az egyik nem , valamint és . A második egyenletbe …
