Episode I: Alice és Bob
. rész: Az euklidészi algoritmus alapgondolata – bizonyítás
Posted on

Mivel közös osztó, ezért teljesülnek az alábbi oszthatóságok: A második oszthatóság jobboldala a 7. pontja miatt tetszőleges elemmel megszorozható: Az tehát osztója -nak és -nek, így ugyanezen tétel 6. pontja miatt osztója a különbségüknek is: …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Euklidészi lemma – bizonyítás
Posted on

Az általánosság megsértése nélkül feltételezhetjük, hogy nem a szerinti nullgyűrű. Ha ugyanis az lenne, akkor az egyetlen elem a lenne, így nyilván teljesülne a tétel állítása bármiféle feltétel nélkül is. Ha nem a nullgyűrű, akkor …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Oszthatóság egyszerűsítése – bizonyítás
Posted on

Az, hogy fennáll az oszthatóság azt jelenti, hogy létezik olyan gyűrűelem, amelyre teljesül az alábbi egyenlet: Az egyenlet mindkét oldalát a gyűrűelemmel megszorozva ezt kapjuk: Mivel azonban a ban megfogalmazott 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Legnagyobb közös osztó kitüntetett – bizonyítás
Posted on

Az esetet egyből ki is zárhatjuk, hiszen a utáni megjegyzés miatt ekkor nem létezne legnagyobb közös osztó. Minthogy létezik (hiszen az), ezért biztos, hogy és közül legalább az egyik nem . Ebből viszont következik, hogy …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Kitüntetett közös osztó egyértelműsége – bizonyítás
Posted on

Nézzük a tétel első állítását. Tegyük fel, hogy kitüntetett közös osztója -nak és -nek, valamint -re teljesül, hogy – azaz és asszociáltak. Azt kell megmutatni, hogy ekkor is kitüntetett közös osztó. Az asszociáltság ja alapján …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Legnagyobb közös osztó létezése – bizonyítás
Posted on

Először azt mutatjuk meg, hogy egy tetszőleges egész számnak mindig véges sok osztója van. Elegendő azt az esetet vizsgálni, amikor pozitív. Ha ugyanis negatív, akkor egyrészt a 1. pontja miatt az ellentettje pozitív lenne, amelynek …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Oszthatóság és rendezési reláció kapcsolata – bizonyítás
Posted on

Az biztos, hogy , hiszen máskülönben lenne a 4. pontja miatt. A rendezési reláció trichotómiájából (lásd a t), valamint -ból következően vagy közül pontosan az egyik teljesül. Az esettel nem kell különösebben foglalkoznunk, hiszen ekkor …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Relatív prímek – megjegyzés
Posted on

Figyelem! Ez a fogalom nem azonos sem a felbonthatatlanok sem pedig a prímek fogalmával. Abból ugyanis, hogy két elem egymáshoz relatív prím, még nem következik, hogy közülük bármelyik is akár felbonthatatlan, akár prím lenne. Például …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Legnagyobb közös osztó – megjegyzés
Posted on

A definícióból következik, hogy esetén nem létezik az legnagyobb közös osztó, hiszen a -nak minden egész szám osztója (lásd a 3. pontját), így közöttük nincs legnagyobb.

Episode I: Alice és Bob
. rész: Egész számok abszolútértéke
Posted on

Definiáljunk egy függvényt a következőképpen: Ekkor az természetes számot az egész szám abszolútértékének nevezzük. Ennek jelölése: .

Episode I: Alice és Bob
. rész: Euklidészi gyűrű
Posted on

Legyen tetszőleges integritástartomány, melyben létezik egységelem. Tegyük fel, hogy elemein értelmezve van egy olyan függvény, amely eleget tesz az alábbi követelményeknek: Tetszőleges elem esetén akkor és csak akkor teljesül, ha , ahol az gyűrű nullelemét, …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Relatív prímek
Posted on

Legyen tetszőleges integritástartomány. Amennyiben valamely és elemeknek minden közös osztója egység, akkor azt mondjuk, hogy és relatív prímek egymáshoz.

Episode I: Alice és Bob
. rész: Legnagyobb közös osztó
Posted on

Tegyük fel, hogy és tetszőleges egész számok a gyűrűben. Az és legnagyobb közös osztója a egész szám, ha teljesül az alábbi két tulajdonság: Fennállnak a és oszthatóságok. Tetszőleges egész szám esetén ha fennállnak a és …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Kitüntetett közös osztó
Posted on

Tegyük fel, hogy és egy valamilyen integritástartomány tetszőleges elemei. Az és elemek kitüntetett közös osztója a elem, ha teljesül az alábbi két tulajdonság: Fennállnak a és oszthatóságok. Tetszőleges elem esetén ha fennállnak a és oszthatóságok, …

Episode I: Alice és Bob
16. rész: Alice és Bob alaptétele
Posted on

Mit kezdjünk azzal, hogy az „osztás” művelete általában nem végezhető el gyűrűkben? Mit jelent az „oszthatóság”? Mikor mondjuk egy gyűrű valamely elemére, hogy „felbonthatatlan” és mely elemeket nevezzük „prímeknek”? Miért van ezeknek kitüntetett szerepük bizonyos gyűrűkben? Mi a helyzet az egész számok gyűrűjében?

Episode I: Alice és Bob
. rész: Egység – megjegyzés
Posted on

Figyelem! Ez nem tévesztendő össze az egységelem fogalmával, amely a alapján a gyűrű -tal jelölt műveletének neutrális eleme. Igaz ugyanakkor, hogy egy gyűrű egységeleme – amennyiben létezik – mindig egység. Ugyanis bármely gyűrűelem esetén , …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Prímtulajdonságú elem – megjegyzés
Posted on

A definícióból és a szorzás asszociativitásából azonnal adódik, hogy ez a tulajdonság akárhánytényezős szorzatokra is ugyanúgy működik. Azaz ha prím, és teljesül a oszthatóság, akkor a , , …, oszthatóságok közül legalább az egyik ugyancsak …