A tétel alapján tehát biztos, hogy az összes egység egy ekvivalencia-osztályba kerül, amelyben az egységeken kívül nincs más elem. Ezenkívül minden elem azonos ekvivalencia-osztályba kerül az ellentettjével. Arról azonban a tétel semmit nem mond, hogy …
Egy testben bármely és elem között teljesül az asszociáció. Itt ugyanis minden nemnulla elem osztója az összes elemnek (lásd a utáni megjegyzést). Az -nak és -nek tehát minden elem többszöröse, és a nullelemen kívül minden …
Egy testben bármely és elem között fennáll az oszthatóság. Itt ugyanis minden nemnulla elemnek van multiplikatív inverze. Így a képlet minden esetben előállítja azt a tényezőt, amellyel megszorozva az elemet -t kapunk eredményül, hiszen:
Mivel nem létezik egységelem, így a értelmében egység sem létezik. Azaz ha van felbonthatatlan elem, akkor neki még – a szerinti értelemben vett – triviális felbontása sem létezik. Azzal az esettel nem kell foglalkoznunk, hogy …
Tekintsük ugyanis egy felbontható elem két tetszőleges felbontását: Azt kell bizonyítani, hogy a kétféle felbontásban ugyanannyi felbonthatatlan tényező van, és minden baloldali tényezőnek van egy asszociált párja a jobboldali felbontásban. Kezdjük -gyel. Mivel jelen esetben …
Legyen egy tetszőleges felbonthatatlan elem -ben. Azt tudjuk, hogy nem a nullelem (hiszen tetszőleges esetén egy nemtriviális felbontás), valamint a miatt nem is egység. Azt kell megmutatni, hogy prímtulajdonságú, azaz hogy ha bármilyen és elemek …
Tegyük fel, hogy tetszőleges prím, és tekintsük ennek valamilyen felbontását: Azt kell bizonyítani, hogy és közül az egyik szükségképpen egység kell legyen. A felbontásból egyrészt következik, hogy teljesülnek az és oszthatóságok. Másrészt, mivel a gyűrű …
Tegyük fel, hogy , és egység. A értelmében a gyűrűben létezik egységelem, mivel egység is létezik (hiszen az). Ekkor azonban alkalmazható a , amely szerint ha két elem közül az egyik a másik egységszerese, akkor …
Nézzük először a tétel második felét. Itt csak annyit kell feltételeznünk, hogy a gyűrű kommutatív és egységelemes. Tegyük most fel, hogy valamely és elemekhez létezik olyan egység, hogy – azaz a elem az elem egységszerese. …
Az egyik irányt már bizonyítottuk a 4. pontjában. Most nézzük a másik irányt, azaz tegyük fel, hogy a gyűrű egységelemes, és . A 1. pontja alapján egységelemes gyűrűkben minden elem osztója önmagának, így tehát fennállnak …
A tétel 1. állításához két dolgot kell bizonyítani. Egyrészt azt, hogy bármely gyűrűelem akkor és csak akkor osztója -nak, ha -nak is. A 8. pontja épp azt mondja ki, hogy ha teljesül , akkor teljesül …
Azt, hogy az esetleges egységelem egy gyűrűben mindig egység, már láttuk az egység ja utáni megjegyzésben. Így csak azt kell megmutatni, hogy ha létezik egység, akkor szükségképpen léteznie kell egységelemnek is nullosztómentes gyűrű esetén. Tegyük …
Mivel egy egység a definíció alapján minden gyűrűelemnek osztója, ezért nyilván az egységelemnek is. Visszafelé: Tegyük fel, hogy egy elem osztója az egységelemnek, azaz . Az egység ja utáni megjegyzésben azonban már láttuk, hogy szükségképpen …
Az 1. tulajdonság: Az egységelem a szorzás neutrális eleme. A szerint ezzel tehát bármilyen elemet megszorozva az eredmény marad . Ez épp azt jelenti, hogy . A 2. tulajdonság: Az, hogy fennáll az oszthatóság azt …
Teljesen nyilvánvalóan adódik az asszociáltság jából. Ugyanis: Bármely elemnek nyilván pontosan ugyanazok az osztói és többszörösei is, mint önmagának. Ha egy elemnek pontosan ugyanazok az osztói és többszörösei, mint egy elemnek, akkor nyilván a elemnek …
Legyen egy integritástartomány, amelyben nem létezik egységelem. Ekkor -ben nem teljesül a számelmélet alaptétele. Másként fogalmazva az alaptétel csak egységelemes integritástartományokban teljesülhet.
Legyen egy integritástartomány, amelyben minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú. Ekkor -ben teljesül a számelmélet alaptételének egyértelműségi állítása. Azaz amennyiben egy nem nulla, nem egység elem felbontható felbonthatatlan elemeinek szorzatára, úgy ez a felbontás asszociáltságtól és a …
Egy kommutatív, egységelemes és nullosztómentes gyűrűben két elem akkor és csak akkor asszociáltjai egymásnak, ha az egyik a másiknak egységszerese. Amennyiben a gyűrű csak kommutatív és egységelemes, de nem feltétlenül nullosztómentes, úgy csak annyit tudunk …
