Az 1. tulajdonság esetén tehát az a kiindulási feltételünk, hogy . Mivel a reláció kompatibilis az összeadással, ezért mindkét oldalhoz ellentettjét adva – amely a 3. gyűrűaxióma miatt létezik – továbbra is érvényes egyenlőtlenséget kapunk: …
Ha , akkor létezik olyan elem az halmazban, amelyre . Mivel a miatt az függvény tartja a Peano-összeadást, ezért . Tekintve, hogy az halmaz minden elemének szerinti képe a értelmében pozitív vagy a halmazon belül …
Az alapján minden elemre teljesül, hogy vagy ő, vagy pedig az ellentettje benne van az összes olyan pozitivitástartományban, amely valamilyen, a rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezéshez tartozik. Az első esetben is benne van az összes …
Ha tetszőleges és gyűrűelemekre pontosan akkor teljesül, amikor is, akkor ez nyilván igaz lesz az speciális esetre is. Azaz ebben a speciális esetben igaz lesz, hogy tetszőleges gyűrűelemre pontosan akkor teljesül a reláció, amikor a …
Kezdjük az 1. tulajdonsággal. Itt a kiindulási feltételünk az, hogy az egyenlőtlenség mindkét oldalát egy „legalább” elemmel megszorozva a reláció iránya nem változik. Azt kell belátni, hogy ebben az esetben egy „legfeljebb” elemmel való szorzás …
Az reláció a miatt azt jelenti, hogy létezik olyan természetes szám, amelyre teljesül az alábbi: Az egyenlet mindkét oldalához -t hozzáadva, illetve mindkét oldalt -vel megszorozva ezeket kapjuk: A két egyenlet baloldalai a Peano-összeadás asszociativitása …
A korábban már bizonyított szerint az egész számok szorzása kommutatív, valamint létezik egységelem, ezért csak a nullosztómentességet kell bizonyítani. Egy pillanatra térjünk vissza a ban bevezetett jelölésekre, amikoris az egész számokat még természetes számpárok ekvivalencia-osztályaiként …
Nézzük az 1. tulajdonság bizonyítását. Az egyenlet mindkét oldalához adjuk hozzá ellentettjét (amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik): A baloldal második tagja a 3. pontja miatt így is írható: Az egyenlet baloldala az 5. …
Amennyiben tetszőleges és egész számokhoz létezik olyan természetes szám, amelyre teljesül, hogy , akkor azt mondjuk, hogy . Kiolvasva: „ legfeljebb ” vagy „ legalább ”. Ha ezen kívül is teljesül – azaz nem azonos …
Tegyük fel, hogy egy részbenrendezhető gyűrű, és legyen egy olyan részbenrendezés a gyűrű alaphalmazán, amely teljesíti a szerinti rendezési axiómákat. Ekkor azoknak az gyűrűelemeknek a halmazát, amelyekre teljesül az reláció, a gyűrű pozitivitástartományának nevezzük a …
Legyen egy tetszőleges gyűrű, valamint a gyűrű alaphalmazán legyen értelmezve egy részbenrendezési reláció, amelyet jelöljünk most a szimbólummal. Tegyük fel, hogy tetszőleges , és gyűrűelemek esetén teljesülnek az alábbi követelmények – az úgynevezett rendezési axiómák: …
Legyen egy tetszőleges halmaz, amelyen értelmezve van egyrészt egy -gal jelölt kétváltozós művelet, másrészt pedig egy valamilyen -val jelölt kétváltozós reláció. Amennyiben tetszőleges , és elemeire az reláció teljesülése esetén az reláció is teljesül, akkor …
A nullosztómentes és kommutatív gyűrűket integritástartományoknak nevezzük. Megjegyezzük, hogy ez a definíció nem követeli meg egységelem – azaz a szorzásra nézve neutrális elem – létezését. Sajnos a magyar terminológiában sincs külön neve az egységelemmel is …
Legyen tetszőleges gyűrű a szokásos jelölésekkel, valamint legyen és a gyűrű két tetszőleges eleme. Ha , de sem , sem pedig , akkor azt mondjuk, hogy baloldali nullosztó, pedig jobboldali nullosztó. Másként fogalmazva egy elemet …
Tegyük fel, hogy egy olyan nullosztómentes gyűrű, amely teljesen rendezhető – azaz létezik legalább egy, a szerinti rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezés a gyűrű alaphalmazán. Ekkor minden nemnulla elem önmagával vett szorzata, valamint az összes …
E tétel megfogalmazásához az alábbi jelöléseket használjuk: -gyel a Peano-axiómarendszer () szerint definiált halmazt jelöljük. Az egész számokra a szerinti jelölést alkalmazzuk. A halmazon értelmezett szerinti teljes rendezést a , az halmazon értelmezett szerinti teljes …
Az egész számok gyűrűjének alaphalmazán pontosan egy olyan teljes rendezés létezik, amelyre teljesülnek a ban megfogalmazott rendezési axiómák. Ennek a rendezésnek a pozitivitástartománya épp a szerinti pozitív, negativitástartománya pedig az ugyanezen definíció szerinti negatív egész …
Tegyük fel, hogy egy tetszőleges gyűrű, valamint egy valamilyen, ezen a gyűrűn definiált, a szerinti rendezési axiómákat kielégítő részbenrendezési reláció pozitivitástartománya. A -hez tartozó részbenrendezési reláció akkor és csak akkor teljes rendezés, ha minden nemnulla …
Tegyük fel, hogy egy nullosztómentes gyűrű, valamint a gyűrű alaphalmazának egy részhalmaza. A halmaz akkor és csak akkor pozitivitástartománya valamilyen -en értelmezett, a szerinti rendezési axiómákat is kielégítő részbenrendezésnek, ha zárt az összeadásra és a …
