Nincs más dolgunk, mint sorra leellenőrizni a ban felsorolt gyűrűaxiómák teljesülését. A művelet a alapján kommutatív és asszociatív. A művelet ja alapján a egész szám neutrális elem erre a műveletre nézve, hiszen tetszőleges és természetes …
Tegyük fel, hogy két neutrális elem is létezik a műveletre nézve. Jelöljük ezeket -nel és -mel. Egyrészt, mivel neutrális, ezért egyben baloldali neutrális is. Így igaz az alábbi: Másrész, mivel is neutrális, ezért egyben jobboldali …
Először a kommutativitást vizsgáljuk. Az első egyenlet baloldala a művelet ja miatt így írható: Az egyenlet jobboldala ugyanilyen okok miatt így írható: Mivel ugyanazt a kifejezést kaptuk mindkét esetben, ezért a művelet valóban kommutatív. Most …
Tegyük fel, hogy adva van egy valamilyen halmaz, amelyen értelmezve van két darab kétváltozós művelet. Az egyiket nevezzük összeadásnak és jelöljük -szal. A másikat nevezzük szorzásnak és jelöljük -tal. Az így kapott algebrai struktúrát gyűrűnek …
Legyen adott egy halmaz és egy ezen értelmezett -gal jelölt kétváltozós művelet, valamint legyen az halmaz egy eleme. Az elemet jobboldali neutrális elemnek nevezzük a műveletre nézve, amennyiben tetszőleges -beli elemre teljesül az alábbi: Az …
Legyen adott egy halmaz egy rajta értelmezett művelettel. Létezzen továbbá neutrális elem erre a műveletre nézve, amelyet jelöljünk -nel. Ha egy adott elemhez létezik olyan -gyel jelölt elem, amelyre , akkor -et a elem jobboldali …
A halmazon az alábbi képlet szerint értelmezett -szal jelölt kétváltozós műveletet kivonásnak nevezzük: Vagy a hagyományos jelölésekkel: Ez tehát azt jelenti, hogy egy egész számból egy egész számot úgy vonunk ki, hogy hozzáadjuk az ellentettjét.
A halmazon az alábbi képlet szerint értelmezett -tal jelölt kétváltozós műveletet szorzásnak nevezzük: A fentiekben a szerinti Peano-összeadást, az egymás után írás a szerinti Peano-szorzást, pedig a halmaznak azon elemét jelöli, amelynek – mint ekvivalencia-osztálynak …
Induljunk ki a tétel első felében szereplő ekvivalenciarelációból. Olyan nyilván nem fordulhat elő, hogy egy elem nincs benne egyik osztályban sem. A reflexivitás miatt ugyanis legalább önmagával relációban áll, így ő legrosszabb esetben is benne …
Az feltétel a alapján azt jelenti, hogy létezik olyan természetes szám, amelyre teljesül, hogy . A Peano-összeadás jának 1. pontja miatt ez egyenértékű ezzel: . Ez viszont a miatt épp azt jelenti, hogy . Ezzel …
Az első egyenlet baloldala az egész számok összeadásának ja miatt így írható: Ebből a Peano-összeadás kommutativitása miatt () következik, hogy az egész számok összeadása is kommutatív: Ehhez hasonlóan a második egyenletben megfogalmazott asszociativitás pedig a …
Az függvény definíciója alapján egyrészt . Másrészt az egész számok összedásának definíciója miatt () igaz az alábbi: Az eredményül kapott két kifejezés megegyezik, tehát valóban .
Az valamint a relációkból a miatt az alábbi két egyenletet írhatjuk fel: A két egyenletet összeadva a következőt kapjuk: Ez viszont szintén a miatt épp azt jelenti, hogy .
Mivel ez egy „akkor és csak akkor” típusú állítás, ezért mindkét irányú implikációt bizonyítani kell. Nézzük először az egyik irányt. Ha , akkor e reláció jának két követelménye közül legalább az egyik teljesül. Nézzük, hogy …
Az ekvivalenciareláció definíciója alapján azt kell igazolnunk, hogy a reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív. A reflexivitás nyilván teljesül, hiszen tetszőleges számpár esetén . Ez ugyanis a miatt épp azt jelenti, hogy , amely a Peano-összeadás …
Tegyük fel, hogy a Peano-axiómarendszer () szerint definiált természetes számok halmaza, valamint adva van egy függvény az alábbiak szerint: Ekkor tetszőleges és természetes számokra teljesül, hogy . Más szavakkal egy injektív homomorfizmus az és a …
