Tegyük fel, hogy egy részbenrendezhető gyűrű, valamint legyen és két tetszőleges részbenrendezési reláció, amelyek kielégítik a ban megfogalmazott rendezési axiómákat. Amennyiben tetszőleges és gyűrűelemekre pontosan akkor teljesül, amikor is teljesül, úgy a két rendezés pozitivitástartománya …

Tegyük fel, hogy egy kommutatív gyűrű, amelynek alaphalmazán értelmezve van egy részbenrendezési reláció. Jelöljük ezt a relációt a szimbólummal, és tegyük fel, hogy a reláció kompatibilis a gyűrű műveletével. Tételezzük fel továbbá, hogy a gyűrű …

Tegyük fel, hogy egy tetszőleges gyűrű, amelynek alaphalmazán értelmezve van egy részbenrendezési reláció. Jelöljük ezt a relációt a szimbólummal, és tegyük fel, hogy a reláció kompatibilis a gyűrű műveletével. Ekkor tetszőleges , és elemekre igazak …

A természetes számok halmazán tetszőleges , és számokra igazak az alábbiak: Ha akkor . Ha akkor . Ha tehát egy egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk ugyanazt a természetes számot, vagy mindkét oldalát megszorozzuk ugyanazzal a természetes …

Az egész számok halmaza egy egységelemet tartalmazó integritástartományt alkot a szokásos összeadás () és a szokásos szorzás () műveletekkel.

Legyen tetszőleges (nem feltétlenül kommutatív) nullosztómentes gyűrű a szokásos jelölésekkel. Ekkor bármely , és elemek esetén teljesülnek az alábbiak: Ha , akkor . Ha , akkor . Igaz a tétel megfordítása is: Amennyiben tetszőleges , …

Legyen tetszőleges egységelemes gyűrű a szokásos jelölésekkel. Ekkor , azaz az egységelem biztosan különbözik a nullelemtől.

A ban bevezetett művelet jóldefiniált a teljes halmazon.

A halmaz tetszőleges , és elemeire igazak az alábbi összefüggések: Más szavakkal a művelet kommutatív és asszociatív, valamint disztributív a műveletre nézve.

A ban bevezetett halmaz egy kommutatív, egységelemes gyűrűt alkot a szerinti és a szerinti műveletekkel.

Tegyük fel, hogy egy valamilyen halmazon értelmezett asszociatív kétváltozós művelet. Ekkor tetszőleges -beli elemhez legfeljebb egy inverz elem létezik erre a műveletre nézve. Más szavakkal minden elem inverze egyértelmű, amennyiben létezik.

Egy tetszőleges alaphalmazon értelmezett bármilyen műveletre nézve legfeljebb egy neutrális elem létezik. Más szavakkal a neutrális elem egyértelmű, amennyiben létezik.

Tegyük fel, hogy a Peano-axiómarendszer () szerint definiált természetes számok halmaza, valamint adva van egy függvény az alábbiak szerint: Ekkor tetszőleges és természetes számokra teljesül, hogy . Más szavakkal egy injektív homomorfizmus az és a …

Tetszőleges , és természetes számok esetén ha és , akkor .

A természetes számok körében ha , akkor vagy .