Episode I: Alice és Bob
. rész: Peano-szorzás kommutativitása 0-ra – lemma bizonyítása
Posted on

Az -ra vonatkozó teljes indukciót alkalmazunk. Tegyük fel tehát, hogy valamilyen természetes számra az állítás igaz. Az indukciós feltétel tehát . Azt kell bizonyítanunk, hogy ekkor -re is igaz lesz, azaz: A Peano-szorzás jának 2. …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Peano-szorzás
Posted on

Az halmazon értelmezett, -tal jelölt kétváltozós műveletet szorzásnak nevezzük, amennyiben teljesülnek rá a következő tulajdonságok: Tetszőleges számra teljesül, hogy . Amennyiben valamely és számokra az eredménye már ismert, úgy teljesül, hogy . A fentiekben jelöli …

Episode I: Alice és Bob
11. rész: Alice és Bob számelméletet épít
Posted on

Hogyan építhető fel egy matematikai elmélet gyakorlatilag a semmiből? Mit nevezünk axiómáknak, amelyek egy ilyen elmélet kiindulópontjai? Mi az a 4 axióma, amelyből következik minden, amit az egész számokról tudunk – és az is, amit még nem tudunk? Hogyan lesz egy állításból tétel?

Episode I: Alice és Bob
. rész: Peano – számosság bizonyítása
Posted on

A ban szereplő 3. axióma lényegében kimondja, hogy legalább egy természetes szám létezik, nevezetesen a 0. Felfedeztük tehát az első természetes számot. Az 1. axióma szerint minden természetes számnak – így nyilván a 0-nak is …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Peano-összeadás kommutativitása – lemma bizonyítása
Posted on

A teljes indukciót a -re fogjuk alkalmazni. Első lépésként feltesszük, hogy az állítás már igaz valamilyen természetes számra, azaz . Ezt indukciós feltételnek nevezzük. Azt kell bizonyítanunk, hogy ebben az esetben -re is igaz lesz, …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Peano-összeadás kommutativitása 0-ra – lemma bizonyítása
Posted on

Most is teljes indukciót alkalmazunk. Tegyük fel, hogy az állítás igaz valamilyen  természetes számra. Az tehát az indukciós feltétel, hogy . Azt kell bizonyítanunk, hogy ekkor -re is igaz lesz, azaz: A korábban bizonyított miatt: A 2. …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Peano-összeadás kommutativitásának bizonyítása
Posted on

Ismételten teljes indukciót alkalmazunk, ám ezúttal a -re vonatkozóan. Tegyük fel, hogy az állítás igaz valamilyen természetes számra. Az tehát az indukciós feltétel, hogy . Azt kell bizonyítanunk, hogy ebben az esetben -re is igaz …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Peano-összeadás asszociativitásának bizonyítása
Posted on

Ezúttal -re vonatkozó teljes indukciót alkalmazunk. Tegyük fel, hogy az állítás igaz valamely természetes számra. Az tehát az indukciós feltétel, hogy . Azt kell bizonyítanunk, hogy ebben az esetben -re is igaz, azaz: A 2. …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Peano-összeadás
Posted on

Az halmazon értelmezett, -szal jelölt kétváltozós műveletet összeadásnak nevezzük, amennyiben teljesülnek rá a következő tulajdonságok: Tetszőleges számra teljesül, hogy . Amennyiben valamely és számokra az eredménye már ismert, úgy teljesül, hogy . A fentiekben jelöli …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Kétváltozós művelet
Posted on

Egy valamilyen halmazon értelmezett kétváltozós művelet egy olyan függvény, amely -beli elemekből alkotott párokhoz szintén a halmaz elemeit rendeli hozzá.

Episode I: Alice és Bob
. rész: Peano-axiómarendszer
Posted on

Legyen adott egy -nel jelölt halmaz, valamint egy függvény. Az halmaz elemeit természetes számoknak nevezzük, amennyiben teljesülnek a következő axiómák: Az függvény az halmaz minden eleméhez rendeljen hozzá valamilyen szintén -beli elemet, azaz létezzen az …

Episode I: Alice és Bob
10. rész: Alice és Bob szerződést köt
Posted on

Hogyan tud Alice és Bob elektronikus szerződést kötni? Lehet-e ilyen szerződéseket hamisítani? Mi a születésnap paradoxon? Mit nevezünk kriptográfiai hash függvényeknek? Mik azok a digitális aláírások és tanúsítványok? Mit nevezünk bizalmi modellnek és hogyan épül fel egy ilyen?