E definíció tehát kiterjeszti a ben bevezetett jelölésmódot a csak pozitív kitevőkről tetszőleges egész kitevőre, beleértve a és a negatív kitevőket is. Egy elem kitevős hatványának természetesen csak abban az esetben van értelme, ha a …
A alapján könnyen leellenőrizhető, hogy az halmaz valóban csoportot alkot az gyűrű műveletével. Előszöris zárt a műveletre nézve. Legyen ugyanis és az gyűrű két invertálható eleme – azaz és . Ekkor az szorzat is invertálható …
Tegyük fel először, hogy és mindketten pozitívak. Ekkor az 1., 2., és 3. tulajdonságok igazolása szinte szóról szóra megegyezik a bizonyításának gondolatmenetével. Mindössze két különbség van. Egyrészt most a tétel szövegéből tudjuk, hogy a művelet …
Mivel a tételben szereplő halmaz elemei a NEM Miller-Rabin-tanúk, ezért a utáni megjegyzés alapján az biztos, hogy itt csak redukált maradékosztályok lehetnek, azaz . Ha , akkor egy prímszám, amelynek a értelmében egyáltalán nincsenek Miller-Rabin-tanúi, …
1. eset: valamilyen prímhatvány Ekkor tehát , ahol valamilyen páratlan prímszám, továbbá , máskülönben nem lenne összetett. A 2. és 3. pontjai alapján a nem Miller-Rabin-tanúk -nel jelölt halmaza egy valódi részcsoportot alkot a multiplikatív …
Előszöris nyilván létezik legalább egy a tételben említett feltételnek megfelelő kitevő, hiszen például és választással teljesül az alábbi kongruencia: Tehát az ilyen kitevők között létezik legnagyobb is, amelyet ugye -szal jelöltünk. Nézzük először az 1. …
Legyen a csoport tetszőleges eleme, és jelöljük -val azt a halmazt, amely pontosan hatványaiból áll. Ekkor nyilván nemüres, hiszen tartalmazza legalább -t. Továbbá zárt a csoport műveletére nézve, ugyanis bármely két hatványát összeszorozva ugyancsak -nek …
Ha részcsoport, akkor teljesíti a feltételeit, így a műveleti zártságot is. Visszafelé: Tegyük fel, hogy olyan részhalmaz, amely zárt a csoportműveletre nézve, legyen tetszőleges -beli elem, továbbá jelöljük egységelemét -vel. Mivel véges, ezért -nek nem …
Jelöljük -vel azt a halmazt, amely olyan egész számokból áll, amelyekre teljesül az alábbi: Azaz azon kitevők halmaza, amelyekre a elemet emelve a csoport egységelemét kapjuk. Az halmaz zárt az egész számok összeadására nézve, hiszen …
A bizonyításban a ben definiált baloldali mellékosztályokat fogjuk használni, de értelemszerűen ugyanígy használhatnánk a jobboldali mellékosztályokat is. Az említett tételben definiált reláció egy ekvivalenciareláció, melynek ekvivalencia-osztályai a szerinti baloldali mellékosztályok. Ezek az ekvivalenciarelációkról szóló alapján …
A alapján azt kell tehát bizonyítani, hogy a szimbólummal jelölt reláció reflexív (), tranzitív () és szimmetrikus (). Az alábbiakban legyenek , és a csoport tetszőleges elemei, az egységelemet pedig jelöljük -vel. A bizonyítás során …
Egyrészt az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy , ebben az esetben ugyanis a tétel nyilvánvalóan igaz. Továbbá azt is feltehetjük, hogy , mivel ebben az esetben a feltétel alapján csak lehet, és ekkor a tétel …
Mivel , ezért , és így a alapján egy véges nemnegatív szám, amiről a tétel szövege alapján tudjuk, hogy nemnulla, tehát . Jelöljük ezt a számot -val, azaz vezessük be az alábbi jelölést: Ez a …
Tegyük fel, hogy részcsoport -ben. Ekkor a műveleti zártság – azaz az 1. tulajdonság – nyilvánvalóan teljesül, máskülönben nem lenne csoport a műveletére nézve, és így részcsoport sem lehetne -ben. Mivel -nak létezik egységeleme – …
Ha -vel jelöljük a művelet neutrális elemét, akkor egyrészt: Másrészt: Azaz a alapján és valóban egymás inverzei. Ha és felcserélhetők, akkor pedig nyilván is igaz.
Legyen egy tetszőleges, -nél nagyobb páratlan szám, amely valamilyen prímhatvány. Azaz , ahol valamilyen pozitív, páratlan prímszám, pedig tetszőleges pozitív kitevő. Jelöljük -nel azon modulo maradékosztályok halmazát, amelyek NEM Miller-Rabin-tanúi -nek. Ekkor igazak az alábbiak: …
Legyen egy tetszőleges -nél nagyobb páratlan szám, amelynek legalább két egymástól különböző prímtényezője is van, azaz nem prímhatvány. Képezzük azt az kitevőt és páratlan számot, amelyekre teljesül az alábbi: Ekkor létezik legalább egy olyan kitevő …
Legyen tetszőleges véges csoport, pedig ennek egy tetszőleges nemüres részhalmaza. A halmaz akkor és csak akkor részcsoport -ben, ha zárt a csoport műveletére nézve.
