A ban felsorolt csoportaxiómákat kell ellenőrizni: A művelet asszociativitása könnyedén adódik a , , …, csoportokon értelmezett műveletek ugyanezen tulajdonságából: Most igazoljuk az egységelemre vonatkozó állítást. Legyen a halmaz egy tetszőleges eleme. Ezt az elemmel …
Az 1. állítás: Itt tulajdonképpen két halmazrendszer (lásd a t) elemei között kell kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíteni. Az első halmazrendszer tehát a csoport azon részcsoportjaiból áll, amelyek tartalmazzák -t, mint az csoporthomomorfizmus magját. Ezt jelöljük …
Tegyük fel tehát, hogy -nek létezik teljes inverz képe -ben – hiszen a tétel úgyis csak ezekről az esetekről nyilatkozik –, és vezessük be a jelölést. A halmaz a alapján nyilván részhalmaza -nek. Ezért csak …
Az halmaz a alapján nyilván részhalmaza -nak, ezért csak a feltételeinek teljesülését kell ellenőrizni -ra. 1. feltétel: zárt a csoport műveletére nézve Legyenek és az halmaz két tetszőleges eleme. A alapján minden -beli elemhez létezik …
Tekintsük azt az csoporthomomorfizmust, amelynek a magja. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen csoportba képez, amelynek egységelemét jelöljük most -szel, míg a csoport egységelemét jelöljük -vel. Az függvény tehát minden eleméhez -et rendeli hozzá, hiszen . …
Előszöris megjegyezzük, hogy a 4. pontja alapján normálosztó -ben, így a baloldalon álló faktorcsoport valóban értelmes. Igaz továbbá, hogy a alapján részcsoport abban a csoportban, ahová mutat, így a tételben szereplő csoportizomorfia jobboldala is értelmes. …
Ha magja egy csoporthomomorfizmusnak, akkor a alapján normálosztó -ben, azaz . Megfordítva: Ha normálosztó -ben, akkor a alapján a -ből kiinduló és a faktorcsoportba mutató természetes csoporthomomorfizmusnak éppen a magja.
A alapján a baloldali mellékosztályok közötti műveletek jóldefiniáltak, azaz az eredményként kapott baloldali mellékosztály nem függ az és reprezentánselemek megválasztásától. Így -re elegendő a szerinti csoportaxiómákat ellenőrizni. Az asszociativitási tulajdonság: Azt kell megmutatni, hogy tetszőleges …
Előzetesen felhívjuk az Olvasó figyelmét, hogy a bizonyítás leírásában a ban szereplő komplexusszorzást és a csoport szorzásnak nevezett műveletét jelölésben is élesen meg fogjuk különböztetni egymástól, mivel ki szeretnénk hangsúlyozni, hogy nagyon nem ugyanarról van …
Tekintsük azt az csoporthomomorfizmust, amelynek képe . Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen csoport elemein van értelmezve, amelynek egységelemét jelöljük most -szel, míg a csoport egységelemét jelöljük -val. Azt kell megmutatnunk, hogy -re teljesülnek a ben …
Az 1. állítás: Mivel egyrészt a csoport egységeleme, valamint tartja a csoportműveletet, ezért a csoport tetszőleges elemére felírhatók az alábbiak: Másrészt, mivel a csoport egységeleme, ezért és is igaz. Ezt az előző egyenletekkel összevetve az …
Legyenek és tetszőleges csoportok, továbbá legyen adott egy szürjektív csoporthomomorfizmus. Ebben az esetben ha ciklikus, melynek generátoreleme , akkor is ciklikus, melynek generátoreleme .
A additív csoport továbbá tetszőleges esetén a additív csoportok ciklikus csoportok. Előbbi generátoreleme az egész szám, utóbbi generátoreleme pedig az maradékosztály.
Egy csoport valamely részcsoportja akkor és csak akkor normálosztó, ha minden és esetén a szorzat benne van -ben. Az állítás a szorzatra is ugyanígy kimondható.
Tegyük fel, hogy egy csoport valamely részhalmaza egy -ből kiinduló csoporthomomorfizmus magja. Ekkor teljesülnek az alábbiak: Az halmaz egy részcsoport -ben. Tetszőleges és elemek esetén akkor és csak akkor, ha és ugyanabban az részcsoport szerinti …
Legyen egy tetszőleges csoport, továbbá a csoportnak egy tetszőleges részhalmaza. Jelöljük -szel azt a fölötti halmazrendszert, amelynek elemei pontosan azok a részcsoportok -ben, amelyek tartalmazzák -et. Ekkor -ben létezik pontosan egy legszűkebb elem, amelyet az …
Legyen egy tetszőleges csoport, valamint legyen egy olyan feletti halmazrendszer, amely valahány – akár végtelen számú – részcsoportját tartalmazza elemként. Ekkor a -ban lévő halmazok metszete is részcsoport -ben. Ehhez hasonlóan ha egy olyan halmazrendszer, …
Legyenek , , …, tetszőleges csoportok, és értelmezzünk egy műveletet a halmaz tetszőleges és elemei között az alábbi módon: Azaz a műveletet úgy kell elvégezni, hogy az azonos pozícióban lévő komponensek szorzatait képezzük a megfelelő …
Legyenek és tetszőleges csoportok, pedig egy szürjektív csoporthomomorfizmus e két csoport között, és vezessük be az jelölést. Ekkor teljesülnek az alábbiak: A részcsoportjai kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésben állnak azon részcsoportjaival, amelyek -et teljes egészében tartalmazzák. Egy …
