Episode I: Alice és Bob
. rész: Az RSA algoritmus helyes működése Carmichael-számok esetén
Posted on

Tegyük fel, hogy teljesülnek az alábbi feltételek: Legyen adott két tetszőleges pozitív, egymáshoz relatív prím és egész szám, amelyek közül mindkettőre igaz, hogy vagy prím, vagy pedig Carmichael-szám. Képezzük ezekből az modulust. Képezzük a egész …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Függvények közötti műveletek
Posted on

Legyen egy tetszőleges gyűrű egy szimbólummal jelölt összeadással és egy szimbólummal vagy egymás után írással jelölt szorzással. Legyenek továbbá és valamilyen -en értelmezett és -be képező függvények. Ekkor az -vel illetve -vel jelölt függvények alatt …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Polinomok gyökei
Posted on

Legyen egy tetszőleges kommutatív gyűrű, egy tetszőleges feletti polinom, pedig az polinomhoz tartozó polinomfüggvény. Jelöljük továbbá az gyűrű nullelemét -rel. Ekkor az polinom gyökeinek nevezzük azokat az gyűrűelemeket, amelyekhez az polinomfüggvény az gyűrű nullelemét rendeli …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Polinomfüggvény
Posted on

Legyen egy tetszőleges kommutatív gyűrű, pedig egy tetszőleges feletti polinom. Tegyük fel, hogy vagy a nullapolinom, vagy pedig a foka legfeljebb , azaz reprezentálható az alábbi végtelen sorozattal, ahol jelöli az gyűrű nullelemét: Ekkor az …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Polinomok
Posted on

Legyen tetszőleges kommutatív gyűrű (lásd a t). Legyen továbbá egy végtelen sorozat, amelynek tagjai az gyűrű elemei: Amennyiben az sorozatnak csak véges sok tagja nem az gyűrű nulleleme, akkor -et az gyűrű feletti polinomnak, az …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Négyzetmentes szám
Posted on

Egy egész számot négyzetmentesnek nevezünk, ha nem létezik olyan egész szám, hogy teljesül a oszthatóság.

Episode I: Alice és Bob
. rész: Primitív gyök
Posted on

Legyen valamilyen pozitív egész szám. Amennyiben a gyűrű multiplikatív csoportja – azaz a csoport – ciklikus, akkor azt mondjuk, hogy létezik primitív gyök modulo . Legyen egy modulo redukált maradékosztály, azaz a multiplikatív csoport egy …

Episode I: Alice és Bob
25. rész: Alice és Bob fontos párhuzamokat talál
Posted on

Mik azok a csoporthomomorfizmusok, normálosztók és faktorcsoportok? Milyen párhuzam mutatható ki ezek és a korábban már ismertetett gyűrűhomorfizmusok, ideálok és maradékosztálygyűrűk között? Milyen szép struktúratartó tulajdonságai vannak egy csoporthomomorfizmusnak? Mik azok a ciklikus csoportok, és összesen hány ilyen létezik?

Episode I: Alice és Bob
. rész: Ciklikus csoportok – megjegyzés
Posted on

Az, hogy ciklikus, amelynek generátoreleme , pontosan azt jelenti, hogy összes eleme kifejezhető ennek az egyetlen elemnek az egész kitevős hatványaiként (lásd a t). A csoport egységeleme és inverze ugyanis a alapján -nek rendre a …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Csoporthomomorfizmusok ciklikusságtartó tulajdonsága – megjegyzés
Posted on

Figyelem, a tétel megfordítása nem igaz! Triviális ellenpéldaként tekintsünk egy olyan csoporthomomorfizmust, amely egy nem ciklikus csoport elemeit egy olyan csoportba képzi, amelynek mindössze egyetlen eleme van, méghozzá az egységelem. Ekkor a mindössze egyetlen elemből …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Normálosztó – megjegyzés
Posted on

Figyelem! A definíció NEM azt mondja, hogy tetszőleges esetén . EHELYETT mindössze annyit állít, hogyha elvégezzük a szerint értelmezett és komplexusszorzásokat, akkor ugyanazt a két HALMAZT kapjuk eredményül. Ez az elemek szintjén pusztán annyit jelent, …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Kép, teljes inverz kép – megjegyzés
Posted on

Vigyázat! Az kifejezés ebben az esetben nem valamiféle matematikai objektumot jelöl, amelyet az függvény a halmazhoz hozzárendel. Ehelyett azt a halmazt jelöli, amely pontosan a -beli elemek szerinti képeit tartalmazza. Ehhez hasonlóan az nem egy …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Csoporthomomorfizmus – megjegyzés
Posted on

A csoportizomorfizmusokra a gyűrűizomorfizmusokhoz hasonlóan teljesül a szimmetria, a tranzitivitás és a reflexivitás. Azaz ha , és tetszőleges csoportok, akkor teljesülnek az alábbiak: Szimmetria: Ha , akkor . Tranzitivitás: Ha és , akkor . Reflexivitás: …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Ciklikus csoportok struktúratétele – bizonyítás
Posted on

A alapján a illetve a csoportok ciklikusak. Ezért ha izomorf valamelyikükkel, akkor a alapján is ciklikus, hiszen a csoportizomorfizmus a alapján egy szürjektív homomorfizmus. Megfordítva: Tegyük fel, hogy ciklikus, és legyen egy generátorelem. Ekkor minden …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Csoporthomomorfizmusok ciklikusságtartó tulajdonsága – bizonyítás
Posted on

Azt kell megmutatni, hogy valóban generátoreleme. Legyen ezért a csoport tetszőleges eleme. Mivel az csoporthomomorfizmus szürjektív, ezért biztosan létezik olyan elem -ben, amelynek épp az szerinti képe, azaz: Mivel ciklikus, ezért ez a bizonyos kifejezhető …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Részcsoportok metszete részcsoport – bizonyítás
Posted on

Nézzük először a részcsoportok metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük -val a halmazrendszerben lévő részcsoportok metszetét. Azt kell megmutatni, hogy részcsoport -ben. Ez a szerint pontosan akkor teljesül, ha zárt a -beli műveletre és inverzképzésre nézve, valamint …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Normálosztó feltétele – bizonyítás
Posted on

Ha normálosztó, akkor az a alapján azt jelenti, hogy az szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek. Ez az említett definíció utáni megjegyzés alapján az elemek szintjén azt jelenti, hogy tetszőleges és esetén létezik olyan és …

Episode I: Alice és Bob
. rész: Generált részcsoport és normálosztó – bizonyítás
Posted on

A alapján egy halmazrendszerben legfeljebb egy legszűkebb elem létezhet. Így elegendő megmutatni, hogy létezik legszűkebb elem, az ugyanis garantáltan az egyetlen legszűkebb elem lesz. Mivel a csoport tetszőleges részhalmaza lehet, ezért előszöris kérdés, hogy létezik-e …