Legyenek és tetszőleges csoportok, pedig egy csoporthomomorfizmus e két csoport között. Ekkor tetszőleges esetén és – amennyiben persze létezik az teljes inverz kép (lásd a utáni megjegyzést). Szavakkal: minden részcsoportjának szerinti teljes inverz képe – …

Legyenek és tetszőleges csoportok, pedig egy csoporthomomorfizmus e két csoport között. Ekkor tetszőleges esetén , azaz minden részcsoportjának szerinti képe részcsoport -ban.

Legyenek és tetszőleges csoportok, valamint tegyük fel, hogy adva van egy csoporthomomorfizmus. Ekkor , azaz a -ből képzett magja szerinti faktorcsoport izomorf képével.

Legyen adva egy csoport és annak egy részhalmaza. Az részhalmaz akkor és csak akkor magja egy valamilyen -ből kiinduló csoporthomomorfizmusnak, ha normálosztó -ben.

Legyen egy tetszőleges csoport, és tegyük fel, hogy normálosztó -ben. Jelöljük -nel azt a halmazt, amelynek elemei a ben definiált szerinti baloldali mellékosztályok. Vezessük be ezek között az alábbi műveletet: Ha és két baloldali mellékosztály, …

Legyen tetszőleges csoport, pedig normálosztó -ben. Tegyük fel továbbá, hogy a csoport valamilyen és valamint és elemeire teljesülnek az alábbiak: Az elem ugyanabban az szerinti baloldali mellékosztályban van, mint az elem. A elem ugyanabban az …

Legyen adva egy csoport, és annak egy részhalmaza. A részhalmaz akkor és csak akkor képe egy -ba mutató csoporthomomorfizmusnak, ha részcsoport -ban.

Legyen adva egy és egy csoport, valamint egy közöttük lévő csoporthomomorfizmus. Ekkor igazak az alábbiak: Ha rendre és jelöli a és csoportok egységelemét, akkor . Ha a kitevő az inverzképzést jelöli a megfelelő csoportban, akkor …

Legyen tetszőleges pozitív, pedig egy tetszőleges egész szám. Tegyük fel, hogy létezik olyan pozitív kitevő, amelyre teljesül az alábbi kongruencia: Ekkor relatív prím -hez.