Nézzük először a részcsoportok metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük -val a halmazrendszerben lévő részcsoportok metszetét. Azt kell megmutatni, hogy részcsoport -ben. Ez a szerint pontosan akkor teljesül, ha zárt a -beli műveletre és inverzképzésre nézve, valamint …
Ha normálosztó, akkor az a alapján azt jelenti, hogy az szerinti bal- és jobboldali mellékosztályok megegyeznek. Ez az említett definíció utáni megjegyzés alapján az elemek szintjén azt jelenti, hogy tetszőleges és esetén létezik olyan és …
A alapján egy halmazrendszerben legfeljebb egy legszűkebb elem létezhet. Így elegendő megmutatni, hogy létezik legszűkebb elem, az ugyanis garantáltan az egyetlen legszűkebb elem lesz. Mivel a csoport tetszőleges részhalmaza lehet, ezért előszöris kérdés, hogy létezik-e …
A ban felsorolt csoportaxiómákat kell ellenőrizni: A művelet asszociativitása könnyedén adódik a , , …, csoportokon értelmezett műveletek ugyanezen tulajdonságából: Most igazoljuk az egységelemre vonatkozó állítást. Legyen a halmaz egy tetszőleges eleme. Ezt az elemmel …
Az 1. állítás: Itt tulajdonképpen két halmazrendszer (lásd a t) elemei között kell kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíteni. Az első halmazrendszer tehát a csoport azon részcsoportjaiból áll, amelyek tartalmazzák -t, mint az csoporthomomorfizmus magját. Ezt jelöljük …
Tegyük fel tehát, hogy -nek létezik teljes inverz képe -ben – hiszen a tétel úgyis csak ezekről az esetekről nyilatkozik –, és vezessük be a jelölést. A halmaz a alapján nyilván részhalmaza -nek. Ezért csak …
Az halmaz a alapján nyilván részhalmaza -nak, ezért csak a feltételeinek teljesülését kell ellenőrizni -ra. 1. feltétel: zárt a csoport műveletére nézve Legyenek és az halmaz két tetszőleges eleme. A alapján minden -beli elemhez létezik …
Tekintsük azt az csoporthomomorfizmust, amelynek a magja. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen csoportba képez, amelynek egységelemét jelöljük most -szel, míg a csoport egységelemét jelöljük -vel. Az függvény tehát minden eleméhez -et rendeli hozzá, hiszen . …
Előszöris megjegyezzük, hogy a 4. pontja alapján normálosztó -ben, így a baloldalon álló faktorcsoport valóban értelmes. Igaz továbbá, hogy a alapján részcsoport abban a csoportban, ahová mutat, így a tételben szereplő csoportizomorfia jobboldala is értelmes. …
Ha magja egy csoporthomomorfizmusnak, akkor a alapján normálosztó -ben, azaz . Megfordítva: Ha normálosztó -ben, akkor a alapján a -ből kiinduló és a faktorcsoportba mutató természetes csoporthomomorfizmusnak éppen a magja.
A alapján a baloldali mellékosztályok közötti műveletek jóldefiniáltak, azaz az eredményként kapott baloldali mellékosztály nem függ az és reprezentánselemek megválasztásától. Így -re elegendő a szerinti csoportaxiómákat ellenőrizni. Az asszociativitási tulajdonság: Azt kell megmutatni, hogy tetszőleges …
Előzetesen felhívjuk az Olvasó figyelmét, hogy a bizonyítás leírásában a ban szereplő komplexusszorzást és a csoport szorzásnak nevezett műveletét jelölésben is élesen meg fogjuk különböztetni egymástól, mivel ki szeretnénk hangsúlyozni, hogy nagyon nem ugyanarról van …
Tekintsük azt az csoporthomomorfizmust, amelynek képe . Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen csoport elemein van értelmezve, amelynek egységelemét jelöljük most -szel, míg a csoport egységelemét jelöljük -val. Azt kell megmutatnunk, hogy -re teljesülnek a ben …
Az 1. állítás: Mivel egyrészt a csoport egységeleme, valamint tartja a csoportműveletet, ezért a csoport tetszőleges elemére felírhatók az alábbiak: Másrészt, mivel a csoport egységeleme, ezért és is igaz. Ezt az előző egyenletekkel összevetve az …
Tekintsük az alábbi lineáris kongruenciát: Ennek a lineáris kongruenciának a értelmében akkor és csak akkor létezik megoldása, ha teljesül az oszthatóság. Minthogy az egész szám a gyűrű egységeleme, így ez az oszthatóság akkor és csak …
Tegyük fel először, hogy és mindketten pozitívak. Ekkor az 1., 2., és 3. tulajdonságok igazolása szinte szóról szóra megegyezik a bizonyításának gondolatmenetével. Mindössze két különbség van. Egyrészt most a tétel szövegéből tudjuk, hogy a művelet …
Mivel a tételben szereplő halmaz elemei a NEM Miller-Rabin-tanúk, ezért a utáni megjegyzés alapján az biztos, hogy itt csak redukált maradékosztályok lehetnek, azaz . Ha , akkor egy prímszám, amelynek a értelmében egyáltalán nincsenek Miller-Rabin-tanúi, …
1. eset: valamilyen prímhatvány Ekkor tehát , ahol valamilyen páratlan prímszám, továbbá , máskülönben nem lenne összetett. A 2. és 3. pontjai alapján a nem Miller-Rabin-tanúk -nel jelölt halmaza egy valódi részcsoportot alkot a multiplikatív …
Előszöris nyilván létezik legalább egy a tételben említett feltételnek megfelelő kitevő, hiszen például és választással teljesül az alábbi kongruencia: Tehát az ilyen kitevők között létezik legnagyobb is, amelyet ugye -szal jelöltünk. Nézzük először az 1. …
Legyen a csoport tetszőleges eleme, és jelöljük -val azt a halmazt, amely pontosan hatványaiból áll. Ekkor nyilván nemüres, hiszen tartalmazza legalább -t. Továbbá zárt a csoport műveletére nézve, ugyanis bármely két hatványát összeszorozva ugyancsak -nek …
