Nincs más dolgunk, mint sorra leellenőrizni a ban felsorolt gyűrűaxiómák teljesülését. A művelet a alapján kommutatív és asszociatív. A művelet ja alapján a egész szám neutrális elem erre a műveletre nézve, hiszen tetszőleges és természetes …
Tegyük fel, hogy két neutrális elem is létezik a műveletre nézve. Jelöljük ezeket -nel és -mel. Egyrészt, mivel neutrális, ezért egyben baloldali neutrális is. Így igaz az alábbi: Másrész, mivel is neutrális, ezért egyben jobboldali …
Először a kommutativitást vizsgáljuk. Az első egyenlet baloldala a művelet ja miatt így írható: Az egyenlet jobboldala ugyanilyen okok miatt így írható: Mivel ugyanazt a kifejezést kaptuk mindkét esetben, ezért a művelet valóban kommutatív. Most …
Induljunk ki a tétel első felében szereplő ekvivalenciarelációból. Olyan nyilván nem fordulhat elő, hogy egy elem nincs benne egyik osztályban sem. A reflexivitás miatt ugyanis legalább önmagával relációban áll, így ő legrosszabb esetben is benne …
Az feltétel a alapján azt jelenti, hogy létezik olyan természetes szám, amelyre teljesül, hogy . A Peano-összeadás jának 1. pontja miatt ez egyenértékű ezzel: . Ez viszont a miatt épp azt jelenti, hogy . Ezzel …
Az első egyenlet baloldala az egész számok összeadásának ja miatt így írható: Ebből a Peano-összeadás kommutativitása miatt () következik, hogy az egész számok összeadása is kommutatív: Ehhez hasonlóan a második egyenletben megfogalmazott asszociativitás pedig a …
Az függvény definíciója alapján egyrészt . Másrészt az egész számok összedásának definíciója miatt () igaz az alábbi: Az eredményül kapott két kifejezés megegyezik, tehát valóban .
Az valamint a relációkból a miatt az alábbi két egyenletet írhatjuk fel: A két egyenletet összeadva a következőt kapjuk: Ez viszont szintén a miatt épp azt jelenti, hogy .
Mivel ez egy „akkor és csak akkor” típusú állítás, ezért mindkét irányú implikációt bizonyítani kell. Nézzük először az egyik irányt. Ha , akkor e reláció jának két követelménye közül legalább az egyik teljesül. Nézzük, hogy …
Az ekvivalenciareláció definíciója alapján azt kell igazolnunk, hogy a reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív. A reflexivitás nyilván teljesül, hiszen tetszőleges számpár esetén . Ez ugyanis a miatt épp azt jelenti, hogy , amely a Peano-összeadás …
Indirekt bizonyítást fogunk alkalmazni, azaz nem közvetlenül a tételt bizonyítjuk, hanem megmutatjuk, miért lehetetlen, hogy nem igaz. Tegyük fel ezért, hogy az halmazban léteznek olyan galád és számok, amelyek között egyik irányban sem áll fenn …
Mivel ez egy „akkor és csak akkor” típusú állítás, ezért mindkét irányú következtetést igazolni kell. Ha , akkor ez azt jelenti a definíció miatt, hogy létezik , amelyre . Ám ekkor nyilvánvalóan , és így …
Ha , akkor a miatt létezik olyan természetes szám, amelyet -hoz adva -t kapunk. Jelöljük ezt a számot -gyel, így tehát azt kapjuk, hogy . Hasonló okok miatt ha , akkor létezik olyan természetes szám …
A már jól ismert teljes indukciót alkalmazzuk. Először is megmutatjuk, hogy ha az állítás teljesül valamilyen -re, akkor teljesülni fog -re is. Meg kell tehát mutatnunk, hogy ha -ből következik, akkor -ből is következik. Az …
Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, azaz , de és közül legalább az egyik nem 0. Az összeadás kommutativitása () miatt mindegy, hogy melyiket választjuk, a másikkal ugyanez a gondolatmenet végigjátszható. Legyen például most …
Ha , akkor a miatt létezik olyan természetes szám, amelyet -hoz adva -t kapunk. Jelöljük ezt a számot -gyel, így tehát azt kapjuk, hogy . Hasonló okok miatt ha , akkor létezik olyan természetes szám …
Tekintve, hogy a Peano-összeadás jának 1. pontja szerint tetszőleges -ra teljesül, hogy , ezért nyilvánvalóan létezik olyan természetes szám – nevezetesen a 0 –, amelyet hozzáadva bármihez azt a bármit kapjuk eredményül. Így tehát tetszőleges …
Ezúttal is -re vonatkozó teljes indukcióval bizonyítunk. Indukciós feltételként feltételezzük, hogy valamilyen -re a tétel már teljesül, azaz: Feladatunk megmutatni, hogy ekkor -re is teljesül, azaz: A 2. pontja miatt: Az indukciós feltétel miatt: A …
Először is megjegyezzük, hogy elegendő csak a baloldali disztributivitást bizonyítani tekintve, hogy a Peano-szorzás kommutatív – ahogy azt a ben már bizonyítottuk. Teljes indukciót alkalmazunk -re vonatkozóan. Tegyük fel, hogy az állítás igaz valamilyen természetes …
