Mivel egy egység a definíció alapján minden gyűrűelemnek osztója, ezért nyilván az egységelemnek is. Visszafelé: Tegyük fel, hogy egy elem osztója az egységelemnek, azaz . Az egység ja utáni megjegyzésben azonban már láttuk, hogy szükségképpen …
Az 1. tulajdonság: Az egységelem a szorzás neutrális eleme. A szerint ezzel tehát bármilyen elemet megszorozva az eredmény marad . Ez épp azt jelenti, hogy . A 2. tulajdonság: Az, hogy fennáll az oszthatóság azt …
Teljesen nyilvánvalóan adódik az asszociáltság jából. Ugyanis: Bármely elemnek nyilván pontosan ugyanazok az osztói és többszörösei is, mint önmagának. Ha egy elemnek pontosan ugyanazok az osztói és többszörösei, mint egy elemnek, akkor nyilván a elemnek …
Jelöljük a pozitivitástartomány által meghatározott relációt a szimbólummal. Mivel ez ismét egy „akkor és csak akkor” típusú állítás, ezért ezúttal is mindkét irányú következtetést bizonyítani kell. Nézzük meg először, hogy mi következik -re vonatkozóan abból, …
Tegyük fel, hogy létezik olyan gyűrű, amelyben . Mivel neutrális elem a szorzásra nézve, ezért tetszőleges elemre igaz az alábbi: Ez viszont a 1. állítása miatt -val egyenlő. Ez azt jelentené, hogy egy ilyen gyűrűnek …
Igazoljuk először az 1. állítást. Mivel a gyűrű nulleleme, ezért a 2. gyűrűaxióma miatt , és így a disztributivitási szabály miatt: Mindkét oldalhoz hozzáadva ellentettjét (amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik) a tétel 1. …
A ban az egész számok halmazát 3 részre osztottuk: pozitív egész számok, negatív egész számok és a egész szám. A pozitív egész számok halmazát jelöljük a továbbiakban -vel, a negatív egész számok halmazát pedig -vel. …
Nézzük először a könnyebbik irányt. Azt kell belátnunk, hogy ha valamilyen részhalmazhoz létezik olyan részbenrendezés, amelynek épp a pozitivitástartománya, és kielégíti a szerinti rendezési axiómákat, akkor zárt az összeadásra és a szorzásra, valamint nem tartalmazza …
Az 1. tulajdonság esetén tehát az a kiindulási feltételünk, hogy . Mivel a reláció kompatibilis az összeadással, ezért mindkét oldalhoz ellentettjét adva – amely a 3. gyűrűaxióma miatt létezik – továbbra is érvényes egyenlőtlenséget kapunk: …
Ha , akkor létezik olyan elem az halmazban, amelyre . Mivel a miatt az függvény tartja a Peano-összeadást, ezért . Tekintve, hogy az halmaz minden elemének szerinti képe a értelmében pozitív vagy a halmazon belül …
Az alapján minden elemre teljesül, hogy vagy ő, vagy pedig az ellentettje benne van az összes olyan pozitivitástartományban, amely valamilyen, a rendezési axiómákat kielégítő teljes rendezéshez tartozik. Az első esetben is benne van az összes …
Ha tetszőleges és gyűrűelemekre pontosan akkor teljesül, amikor is, akkor ez nyilván igaz lesz az speciális esetre is. Azaz ebben a speciális esetben igaz lesz, hogy tetszőleges gyűrűelemre pontosan akkor teljesül a reláció, amikor a …
Kezdjük az 1. tulajdonsággal. Itt a kiindulási feltételünk az, hogy az egyenlőtlenség mindkét oldalát egy „legalább” elemmel megszorozva a reláció iránya nem változik. Azt kell belátni, hogy ebben az esetben egy „legfeljebb” elemmel való szorzás …
Az reláció a miatt azt jelenti, hogy létezik olyan természetes szám, amelyre teljesül az alábbi: Az egyenlet mindkét oldalához -t hozzáadva, illetve mindkét oldalt -vel megszorozva ezeket kapjuk: A két egyenlet baloldalai a Peano-összeadás asszociativitása …
A korábban már bizonyított szerint az egész számok szorzása kommutatív, valamint létezik egységelem, ezért csak a nullosztómentességet kell bizonyítani. Egy pillanatra térjünk vissza a ban bevezetett jelölésekre, amikoris az egész számokat még természetes számpárok ekvivalencia-osztályaiként …
Nézzük az 1. tulajdonság bizonyítását. Az egyenlet mindkét oldalához adjuk hozzá ellentettjét (amely ugye a 3. gyűrűaxióma miatt létezik): A baloldal második tagja a 3. pontja miatt így is írható: Az egyenlet baloldala az 5. …
Tegyük fel, hogy egy elemnek két inverze is létezik a műveletre nézve. Jelöljük ezeket -szel és -nal. Egyrészt mivel inverz, ezért egyben baloldali inverz is. Így igaz az alábbi: Másrészt, mivel is inverz, ezért egyben …
Tegyük fel, hogy nem igaz az állítás, azaz valamilyen mellett léteznek olyan galád és természetes számok, amelyekre teljesül, ugyanakkor . Ekkor és kisebb-nagyobb viszonyaira vonatkozóan a reláció () trichotómiája () miatt két eset lehetséges: vagy …
A korábbi részekben már jól bejáratott indirekt bizonyítást fogjuk alkalmazni. Azaz megmutatjuk, hogy milyen képtelen következményekhez vezetne, ha az állítás nem lenne igaz. Tegyük fel tehát, hogy léteznek olyan galád és természetes számok, amelyek esetén …
A tétel szerint minden egész szám felírható vagy alakban – ahol valamilyen természetes szám. Ezért elegendő ellenőrizni, hogy tetszőleges , és természetes számok esetén teljesülnek az alábbiak: Ez a 4 egyenlet a miatt rendre így …
