Tekintsük azt az gyűrűhomomorfizmust, amelynek a magja. Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen gyűrűbe képez, amelynek nullelemét jelöljük most -szel, míg az gyűrű nullelemét jelöljük -rel. Az függvény tehát minden eleméhez -et rendeli hozzá, hiszen . …
Ha magja egy gyűrűhomomorfizmusnak, akkor a alapján ideál -ben, azaz . Megfordítva: Ha ideál -ben, akkor a alapján az -ből kiinduló és az faktorgyűrűbe mutató természetes gyűrűhomomorfizmusnak éppen a magja.
A alapján a maradékosztályok közötti és műveletek jóldefiniáltak, azaz az eredményként kapott maradékosztály nem függ az és reprezentánselemek megválasztásától. Így -re elegendő a szerinti gyűrűaxiómákat ellenőrizni. Az asszociativitási és disztributivitási tulajdonságok, valamint a művelet kommutativitása: …
Az áttekinthetőség kedvéért most az összeadást a , az ellentettképzést és a kivonást pedig a szimbólummal fogjuk jelölni mindhárom gyűrű esetén. Mindig gondoljuk azonban végig, hogy az adott kifejezésben szereplő műveleti jelek éppen melyik gyűrűre …
A alapján azt kell tehát bizonyítani, hogy az ideál szerinti kongruenciareláció reflexív (), tranzitív () és szimmetrikus (). Az alábbiakban legyenek , és az gyűrű tetszőleges elemei. A bizonyítás során végig arra fogunk támaszkodni, hogy …
A alapján azt kell tehát bizonyítani, hogy az szerinti kongruenciareláció reflexív (), tranzitív () és szimmetrikus (). Az alábbiakban legyenek , és az gyűrű tetszőleges elemei. Mivel nyilván teljesül, ezért fennáll az reláció, így az …
Tegyük fel, hogy részgyűrű -ben. Ekkor a műveleti zártság – azaz az 1. és 2. tulajdonság – nyilvánvalóan teljesül, máskülönben nem lenne gyűrű az -beli műveletekre nézve, és így részgyűrű sem lehetne -ben. Mivel -nek …
Jelöljük az gyűrű összeadását a , míg az gyűrű összeadását a szimbólummal. Az 1. állítás: Mivel egyrészt az gyűrű nulleleme, valamint tartja az összeadást, ezért az gyűrű tetszőleges elemére felírható az alábbi: Másrészt, mivel az …
A bizonyításban a szerinti gyűrűaxiómákra fogunk hivatkozni. Az 1. tulajdonság: Az hatvány egy olyan tényezős szorzat, amelynek minden tényezője . A 4. gyűrűaxióma alapján a szorzás asszociatív, valamint – mivel kommutatív gyűrűről van szó – …
Azt kell megmutatni, hogy a függvény tartja az eredeti gyűrű mindkét műveletét. Nézzük először az összeadást. Itt az alábbi összefüggést kell igazolni: Fejtsük ki mindkét oldalt a alapján. A bal- és jobboldalon képződő maradékokat jelöljük …
Tegyük fel, hogy prímszám, és a gyűrű valamely és elemeinek moduláris szorzata , azaz . Azt kell megmutatni, hogy ekkor és közül legalább az egyik szükségképpen . Az a alapján azt jelenti, hogy , vagyis …
A ban szereplő gyűrűaxiómák teljesülését kell igazolnunk. Nézzük őket sorban: A műveletek kommutativitása: Ez egyszerűen adódik a ból, valamint a hagyományos összeadás és szorzás kommutativitásából: Neutrális elem létezése: Az esetben a utáni megjegyzés 4. pontja …
Előszöris azt igazoljuk, hogy a maradékos osztás ezekkel a szigorúbb feltételekkel is elvégezhető, azaz mindenképpen létezik nemnegatív maradék is. Ezután fogjuk igazolni ennek egyértelműségét. A ből tudjuk, hogy az abszolútérték függvény egy euklidészi norma a …
Mivel és egymás ellentettjei, ezért a oszthatóság miatt a 8. pontja alapján az alábbi oszthatóságok mind teljesülnek: A fenti négy oszthatóság között biztosan van olyan, amelynek mindkét oldalán nemnegatív számok szerepelnek. Ezért az általánosság megsértése …
Az 1. tulajdonság: A nullelem osztója önmagának, így közös osztó. Ugyanakkor neki minden elem osztója, így az összes többi potenciális közös osztó is, ezért ő kitüntetett is. Rajta kívül viszont más kitüntetett közös osztó nem …
A alapján egy euklidészi gyűrűben bármely két elemnek létezik kitüntetett közös osztója. Így a miatt minden felbonthatatlan elem prím. Ebből viszont a szerint következik a számelémélet alaptételének egyértelműségi állítása. Ha tehát valamely elemnek egyáltalán létezik …
Tegyük fel indirekt, hogy egy olyan galád részhalmaza -nek, amelynek nincs minimuma. Jelöljük ezen kívül -val -nek azt a részhalmazát, amely minden olyan természetes számot tartalmaz, amely kisebb bármely eleménél. Azaz egyrészt a halmaz minden …
Előszöris, mivel euklidészi gyűrű, így a alapján létezik egységelem. Ha egység, akkor a tétel értelmében osztója az egységelemnek. Létezik tehát olyan elem, amelyre teljesül. Mivel (máskülönben a szorzat a nullelem lenne), ezért a norma egyenlőtlenségi …
A bizonyítás konstruktív lesz, azaz az euklidészi norma segítségével definiálni fogunk egy olyan függvényt, amely maga is euklidészi norma, de ezen felül teljesíti a tételben szereplő egyenlőtlenségi tulajdonságot is. Tegyük fel, hogy valamilyen tetszőleges elemre …
Az abszolútérték-függvény képhalmaza a alapján valóban a természetes számok halmaza, hiszen az abszolútérték biztosan nemnegatív. A gyűrű nullelemének képe szintén a definíció alapján a természetes szám. Visszafelé: ha , akkor az alábbi két eset lehetséges: …
