Jelöljük -vel az és elemek kitüntetett közös osztóját. Mivel főideálgyűrű, ezért az ideál is szükségképpen főideál, azaz generálható egyetlen elemmel is. Létezik tehát olyan gyűrűelem, hogy . Ekkor azonban a 2. pontja alapján is kitüntetett …
Az 1. állítás: Legyen tehát kitüntetett közös osztója -nak és -nek. Azt kell bizonyítani, hogy ekkor fennáll az tartalmazási reláció, azaz az ideál bármely eleme egyúttal a főideálnak is eleme. Legyen tehát az ideál egy …
Az kongruencia a 3. pontja alapján akkor és csak akkor teljesül, ha fennáll az , azaz a disztributivitási szabály miatt az alábbi oszthatóság: Ugye -vel jelöltük azt az egész számot, amelyet a kitüntetett közös osztóval …
A alapján az egész számok közötti modulo kongruencia teljesen ekvivalens az főideál szerinti kongruenciával, ezért minden olyan tétel vonatkozik rá, amelyet az ideálok szerinti kongruenciákkal kapcsolatban már bizonyítottunk. Így például az 1., 2. és 3. …
Tegyük fel, hogy és is legszűkebb elem -ban. Mivel legszűkebb elem, ezért ő tetszőleges halmaznak részhalmaza, többek között például -nek is, azaz . Másrészt, mivel is legszűkebb elem, ezért ő is részhalmaza tetszőleges halmaznak, többek …
Azt kell megmutatni, hogy a szerinti mindkét feltétel teljesül. Mivel egy főideálgyűrű minden ideálja generálható egyetlen elemmel, ezért alkalmazható a . Eszerint a főideálok bármely nemüres részhalmazának van maximuma, így teljesül az 1. feltétel. Legyen …
Az elem nyilván benne van az ideálban, ami a feltétel alapján a főideállal egyezik meg. Emiatt az elem összes többszöröse is -ben van. Ezek viszont épp az főideál elemei, azaz , és így a alapján …
Tegyük fel indirekt, hogy minden ideálja végesen generált, ám ennek ellenére az halmazrendszernek létezik egy olyan nemüres részhalmaza, amelynek nincs maximális eleme. Ez a alapján azt jelenti, hogy bármilyen ideált választunk is ki -ből, biztosan …
Nézzük először a részgyűrűk uniójára vonatkozó állítást! Jelöljük -sel az halmazrendszerben lévő részgyűrűk unióját. Azt kell megmutatni, hogy részgyűrű -ben. Ez a szerint pontosan akkor teljesül, ha zárt az -beli összeadásra, szorzásra és ellentettképzésre, valamint …
Legyen egy tetszőleges euklidészi gyűrű, pedig egy tetszőleges ideál -ben. Azt kell megmutatnunk, hogy létezik olyan elem, amely generálja -t, azaz amelyre teljesül. Jelöljük az euklidészi gyűrű nullelmét -rel. Ha csak a nullelemből áll, akkor …
Ennek a tételnek a bizonyítása nagyon fog hasonlítani a bizonyításához. Arra azonban figyelnünk kell, hogy az egységelem hiánya miatt ezúttal nem teljesül az oszthatóság, mivel a nullosztómentesség miatt ez ellentmondana a 2. pontjának. Az 1. …
Előszöris vizsgáljuk meg az főideál szerkezetét. A alapján az főideál az a legszűkebb ideál, amely tartalmazza az elemet. Mivel , ezért a szerint tetszőleges elem esetén szükségképpen is teljesül. Azaz az ideál biztosan tartalmazza az …
Nézzük először az elégségességet! Azaz egyrészt tegyük fel, hogy -ben minden felbonthatatlan elem prímtulajdonságú, másrészt pedig azt, hogy a főideálokból álló halmazrendszer bármely nemüres részhalmazának létezik maximuma. Ez utóbbi azt jelenti, hogy akárhogyan is választunk …
A utáni megjegyzés 3. és 5. pontjai alapján a reláció reflexív és antiszimmetrikus. Így már csak azt kell megmutatni, hogy teljesül a tranzitivitás is, azaz a halmazrendszer tetszőleges , és elemei esetén ha és , …
A alapján egy halmazrendszerben legfeljebb egy legszűkebb elem létezhet. Így elegendő megmutatni, hogy létezik legszűkebb elem, az ugyanis garantáltan az egyetlen legszűkebb elem lesz. Mivel az gyűrű tetszőleges részhalmaza lehet, ezért előszöris kérdés, hogy létezik-e …
Nézzük először a részgyűrűk metszetére vonatkozó állítást! Jelöljük -sel az halmazrendszerben lévő részgyűrűk metszetét. Azt kell megmutatni, hogy részgyűrű -ben. Ez a szerint pontosan akkor teljesül, ha zárt az -beli összeadásra, szorzásra és ellentettképzésre, valamint …
Az 1. tulajdonság: Ez nyilvánvalóan következik az üres halmaz és az univerzális halmaz definíciójából. Az üres halmaznak ugyanis nincs egyetlen eleme sem, így a vele végzett unióképzés nem ad hozzá elemeket semmilyen halmazhoz. Ehhez hasonlóan …
Az első két kongruencia a alapján épp azt jelenti, hogy az és a különbségek benne vannak -ben. Minthogy részgyűrű -ben (hiszen ideál), ezért e két különbség összege, azaz szintén -ben van, és így valóban teljesül …
Tekintsük azt az gyűrűhomomorfizmust, amelynek képe . Ez egy valamilyen, számunkra ismeretlen gyűrű elemein van értelmezve, amelynek nullelemét jelöljük most -szel, míg az gyűrű nullelemét jelöljük -sel. Azt kell megmutatnunk, hogy -re teljesülnek a ben …
Előszöris megjegyezzük, hogy a alapján ideál -ben, így a baloldalon álló faktorgyűrű valóban értelmes. Igaz továbbá, hogy a alapján részgyűrű abban a gyűrűben, ahová mutat, így a tételben szereplő gyűrűizomorfia jobboldala is értelmes. Most megmutatjuk, …
