A tételben szereplő 2. és 3. állítást egyben is megfogalmazhatjuk az alábbi módon: Ha az lineáris diofantoszi egyenlet valamelyik , megoldását már ismerjük, akkor az alábbi képlet segítségével megkaphatjuk az összes megoldást, amennyiben a paraméterrel …
Nyilvánvaló, hogyha egy egész számot helyére behelyettesítve a kongruencia teljesül – azaz –, akkor ez igaz lesz az által reprezentált maradékosztály összes többi elemére is. Ha ugyanis egy egész szám benne van ebben a maradékosztályban, …
A utáni megjegyzésben szereplő okok miatt negatív modulus szerinti maradékosztályokról sem szoktunk beszélni. Ugyanis a modulo kongruencia pontosan ugyanaz a reláció, mint a modulo kongruencia, és így az általuk meghatározott maradékosztályok is megegyeznek.
Vegyük észre, hogy a tétel bizonyításához kizárólag néhány, ideál szerinti kongruenciákra vonatkozó korábbi állítást, valamint – a 9. állítás esetében – egy ideálok közötti tartalmazási relációt használtunk fel. Emiatt az összes most bizonyított azonosság automatikusan …
Az jelölés némiképp eltér az ideál szerinti kongruencia jában szereplő jelöléstől. Történelmileg az előbbi volt hamarabb, és ekkor még kizárólag az osztási maradékokkal kapcsolatos jelentést értették alatta, amelyet épp a tétel 1. állítása fogalmaz meg. …
E tétel egy egyszerű következménye, hogy ha a szorzó tényező relatív prím az modulushoz, akkor a -vel való egyszerűsítés után a kongruencia változatlan modulus mellett érvényben marad. Azaz ebben az esetben az kongruenciából következik az …
Az Olvasót eddig esetleg zavarhatta, hogy az és elemeket tartalmazó legszűkebb ideált ugyanúgy -vel jelöljük, mint e két elem kitüntetett közös osztóját. Ez a tétel pontosan ennek az okára világít rá.
Az imént bevezetett szimbólummal jelölt tartalmazási relációt ne keverjük össze a ban bevezetett relációval. Nagyon nem ugyanaz a két fogalom! Ha például és két halmaz, akkor azt fejezi ki, hogy összes eleme egyúttal -nek is …
Például ha a páros számok halmaza, akkor ezt leírhatjuk az alábbi módokon: Az elemek felsorolása intuitív módon: Leírás eldöntési szabállyal („olyan -ek, amelyek oszthatók 2-vel”): Szöveges leírás: A definícióval kapcsolatban megjegyezzük az alábbiakat: Az üres …
A gyűrűizomorfizmus szimmetrikus: Azaz ha teljesül, akkor is teljesül. Nyilván, hiszen ha az ábrán a nyilak irányát megfordítjuk, akkor az így kapott megfeleltetés is kölcsönösen egyértelmű. Ez azt jelenti, hogy ha és az gyűrű két …
A definícióból azonnal adódnak az alábbi észrevételek: A maradékképzés valóban egy függvény, mivel a hozzárendelés a alapján egyértelmű. Ez alatt azt értjük, hogy minden egész számhoz pontosan egy modulo maradék rendelhető, se több, se kevesebb. …
A ban szereplő kongruenciára a most definiált fogalom segítségével egy alternatív definíciót is adhatunk. Nevezetesen: az gyűrű valamely és elemei között akkor és csak akkor teljesül az gyűrűhomomorfizmus szerinti kongruencia (azaz akkor és csak akkor …
Ez alapján tehát ha és az gyűrű két tetszőleges eleme, akkor az és maradékosztályok viszonyaira vonatkozóan két eset lehetséges. Vagy teljesen megegyeznek egymással, azaz pontosan ugyanazok az elemeik, vagy pedig egyáltalán nincs közös elemük. Ha …
Tegyük fel, hogy egy nemnulla egész szám. Ekkor az -mel osztható egész számok halmazát (vagy más szavakkal többszöröseit) a fenti komplexusszorzást alkalmazva -vel jelölhetjük. Például a páros számok halmazát ezért jelöljük -vel. A komplexusösszeadást is …
Az euklidészi gyűrű fogalmának bevezetése mögött az a motiváció, hogy az euklidészi algoritmus ne csak a nemnegatív egész számok halmazán működhessen, hanem azt ki lehessen terjeszteni általános integritástartományok lehetőleg minél szélesebb körére is. A „működés” …
A bizonyításban azt állítottuk, hogy az üres halmaz minden elemének létezik prímtényezős felbontása. Ez elsőre ellentmondásnak tűnik, azonban furcsamód nem az. Tegyük fel ugyanis indirekt, hogy az állítás nem igaz, azaz az üres halmazban nem …
Figyelem! Ez a fogalom nem azonos sem a felbonthatatlanok sem pedig a prímek fogalmával. Abból ugyanis, hogy két elem egymáshoz relatív prím, még nem következik, hogy közülük bármelyik is akár felbonthatatlan, akár prím lenne. Például …
A definícióból következik, hogy esetén nem létezik az legnagyobb közös osztó, hiszen a -nak minden egész szám osztója (lásd a 3. pontját), így közöttük nincs legnagyobb.
Figyelem! Ez nem tévesztendő össze az egységelem fogalmával, amely a alapján a gyűrű -tal jelölt műveletének neutrális eleme. Igaz ugyanakkor, hogy egy gyűrű egységeleme – amennyiben létezik – mindig egység. Ugyanis bármely gyűrűelem esetén , …
A definícióból és a szorzás asszociativitásából azonnal adódik, hogy ez a tulajdonság akárhánytényezős szorzatokra is ugyanúgy működik. Azaz ha prím, és teljesül a oszthatóság, akkor a , , …, oszthatóságok közül legalább az egyik ugyancsak …
