A bizonyításban megkonstruált függvény által megvalósított leképezés természetesen függeni fog attól, hogy pontosan milyen reprezentánsrendszert választunk -hez. Maga a tény azonban, hogy ez egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lesz és között, természetesen a reprezentánsrendszer megválasztásától függetlenül …
A ban bevezettük a csoport rendjének fogalmát, amely az adott csoport elemeinek a számát adja meg. Ez a multiplikatív csoport esetén a alapján épp az Euler-féle -függvény értékével egyezik meg, azaz: Ezután a ban definiáltuk …
Tekintsük például az alábbi egész számokból álló végtelen sorozatot, amely tehát a definíció alapján egy feletti harmadfokú polinom, hiszen a -es indexű tagjától kezdve csupa számokból áll (ne feledjük, a számozás a nulladik indextől indul): …
A bizonyításban szereplő és függvények képlete első ránézésre kissé mesterkéltnek tűnhet. Ennek technikai oka van, ugyanis a szám fogalmát eddig csak a természetes és az egész számok körére korlátoztuk, az úgynevezett tört- vagy racionális számokat …
Az, hogy ciklikus, amelynek generátoreleme , pontosan azt jelenti, hogy összes eleme kifejezhető ennek az egyetlen elemnek az egész kitevős hatványaiként (lásd a t). A csoport egységeleme és inverze ugyanis a alapján -nek rendre a …
Figyelem, a tétel megfordítása nem igaz! Triviális ellenpéldaként tekintsünk egy olyan csoporthomomorfizmust, amely egy nem ciklikus csoport elemeit egy olyan csoportba képzi, amelynek mindössze egyetlen eleme van, méghozzá az egységelem. Ekkor a mindössze egyetlen elemből …
Figyelem! A definíció NEM azt mondja, hogy tetszőleges esetén . EHELYETT mindössze annyit állít, hogyha elvégezzük a szerint értelmezett és komplexusszorzásokat, akkor ugyanazt a két HALMAZT kapjuk eredményül. Ez az elemek szintjén pusztán annyit jelent, …
Vigyázat! Az kifejezés ebben az esetben nem valamiféle matematikai objektumot jelöl, amelyet az függvény a halmazhoz hozzárendel. Ehelyett azt a halmazt jelöli, amely pontosan a -beli elemek szerinti képeit tartalmazza. Ehhez hasonlóan az nem egy …
Megjegyezzük, hogy az iménti bizonyítás gondolatmenete alapján a tételben az 1. állítás mellett elegendő lett volna kizárólag a 4. állítást megfogalmazni, hiszen az ekvivalens a 2. és 3. állítások együttes teljesülésével. Tegyük fel ugyanis, hogy …
A csoportizomorfizmusokra a gyűrűizomorfizmusokhoz hasonlóan teljesül a szimmetria, a tranzitivitás és a reflexivitás. Azaz ha , és tetszőleges csoportok, akkor teljesülnek az alábbiak: Szimmetria: Ha , akkor . Tranzitivitás: Ha és , akkor . Reflexivitás: …
A ben igazoltuk, hogy a szimbólummal jelölt tartalmazási reláció egy részbenrendezés bármilyen halmazrendszer elemei között, azaz reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. Továbbá azt is igazoltuk, hogy a szigorú tartalmazási reláció ezek közül csak a tranzitivitást teljesíti. …
A tétel bizonyításában végességére pusztán azért volt szükség, mert ebből következett, hogy minden elem rendje szintén véges – ami ugye a bizonyítás kulcsa volt. Azonban visszafelé ez nem feltétlenül van így. Azaz abból, hogy minden …
A utáni megjegyzésben megemlítettük, hogy egy csoportnak egy részcsoportja szerinti bal- illetve jobboldali mellékosztályai általában nem azonos halmazok. Azaz ha a csoport egy eleme, akkor általában . Azonban a Lagrange-tételből azonnal következik, hogy véges csoport …
A figyelmes Olvasó észreveheti, hogy ez a bizonyítás szinte szó szerint megegyezik a bizonyításával. A különbség pusztán annyi, hogy abban a tételben a csoport szerepét az ott szereplő gyűrű additív csoportja, míg a részcsoport szerepét …
E definíció tehát kiterjeszti a ben bevezetett jelölésmódot a csak pozitív kitevőkről tetszőleges egész kitevőre, beleértve a és a negatív kitevőket is. Egy elem kitevős hatványának természetesen csak abban az esetben van értelme, ha a …
A alapján könnyen leellenőrizhető, hogy az halmaz valóban csoportot alkot az gyűrű műveletével. Előszöris zárt a műveletre nézve. Legyen ugyanis és az gyűrű két invertálható eleme – azaz és . Ekkor az szorzat is invertálható …
A Fermat-tanú jához hasonlóan itt is teljes maradékosztályokra célszerű vonatkoztatni ezt a fogalmat. Ha ugyanis egy egész szám -val azonos modulo maradékosztályban van, akkor teljesül az kongruencia, és így a 8. pontja alapján teljesülnek az …
A definícióban nem kell külön kikötni, hogy és legyen relatív prím – ami a értelmében azt jelentené, hogy egy redukált maradékosztály –, hiszen ha nem ez lenne a helyzet, akkor az szintén tanúsítaná összetettségét. Ez …
A tételben szereplő és kongruenciáknak a alapján létezik megoldása, hiszen és a tétel szövege alapján relatív prímek. Ugyanezen okból a 1. pontja miatt a megoldás mindkét kongruencia esetén egy-egy maradékosztály lesz. Ezek megtalálásához a alapján …
Ez a tétel magától Fermat-tól származik 1636-ból. A bizonyításban felhasználtuk, hogy a kis Fermat-tétel az Euler-Fermat tétel () egy speciális esete, amikoris a modulus egy prímszám, és így a kitevő -gyel egyezik meg. Megemlítjük azonban, …
